Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности

Если через точку М(x _0, y ₀, z ₀ ) некоторой поверхности S провести всевозможные кривые и к ним в этой точке провести касательные прямые, то окажется, что все эти касательные лежат в одной плоскости, которая называется касательной плоскостью к поверхности S в точке М, а перпендикуляр к касательной плоскости, восстановленный к ней в точке касания М, называется нормалью к поверхности.

Пусть поверхность задана уравнением , где - дифференцируемая функция, тогда уравнение касательной плоскости в точке М( x _0, y ₀, z ₀ ) поверхности S есть , (2)

а уравнение нормали к поверхности в точке : . (3)

Пример 5. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

Решение:

1). Проверим, принадлежит ли точка М ₀ поверхности . Для этого подставим ее координаты в уравнение этой поверхности. В результате получится верное равенство. Следовательно, точка принадлежит поверхности .

2). Определим частные производные первого порядка и вычислим их значения в точке касания:

, , , .

3). Так как поверхность задана в явном виде, то уравнение касательной плоскости будет иметь вид (2):

или .

4). Уравнение нормали запишется в виде (3): .

Дата добавления: 2014-01-05