Исходные данные для построения уравнений регрессии

№/№	y	x1	x2	№/№	y	x1	x2
	48,01	0,91	46,08		36,26	0,90	40,06
	38,18	0,76	45,18		32,07	0,52	57,91
	38,7	0,82	41,76		32,83	0,66	43,86
	46,72	0,88	50,94		35,16	0,58	58,62
	41,58	0,88	43,54		44,56	0,99	44,39
	36,89	0,89	38,8		59,16	1,63	35,77
	34,54	0,87	39,22		67,99	1,95	35,96
	42,86	0,94	42,74		53,73	1,27	40,99
	38,97	0,91	41,2		52,39	1,55	33,05
	43,22	1,07	39,35		36,1	1,15	30,68
	28,19	0,69	34,38		32,67	0,94	34,26
	38,65	0,74	48,98	Σ	959,43	22,5	967,72

Можно попробовать включить в уравнение регрессии второй фактор x₂ и проанализировать получившийся результат. При построении уравнений множественной регрессии возникает много дополнительных сложностей по сравнению с процессом построения уравнений парной регрессии. Сами системы нормальных уравнений для вычисления параметров регрессии включают больше уравнений и неизвестных, но кроме того, возникает дополнительная проблема отбора тех факторных переменных, которые целесообразно включить в уравнений множественной регрессии.

На лекции №1 мы уже говорили о проблеме мультиколлинеарности и о том, что в уравнение множественной регрессии нельзя включать факторы, между которыми существует линейная статистическая зависимость (корреляционная связь), измеряемая с помощью коэффициента парной корреляции. Но, может быть, в уравнение регрессии достаточно включить только единственный фактор, а включение дополнительного фактора будет лишним? Попытаемся оценить это с помощью расчета коэффициента детерминации.

Этот показатель рассчитывается как отношение двух дисперсий (дисперсии расчетных значений и дисперсии фактических значений результативной переменной y) и показывает, какая часть вариации результативного признака может быть объяснена влиянием факторного признака.

Проведя расчеты, основанные на одних и тех же исходных данных, для нескольких типов функций, мы можем из них выбрать такую, которая дает наибольшее значение R² и, следовательно, в большей степени, чем другие функции, объясняет вариацию результативного признака. Коэффициент детерминации рассчитывается по формуле:

(3.1)

где в числителе - дисперсия расчетных, а в знаменателе – дисперсия фактических значений изучаемого признака.

Действительно, при расчете R² для одних и тех же данных, но разных функций знаменатель выражения (3.1) остается неизменным, а числитель показывает ту часть вариации результативного признака, которая учитывается выбранной функцией. Чем больше R², т. е. чем больше числитель, тем больше изменение факторного признака объясняет изменение результативного признака и тем, следовательно, лучше уравнение регрессии, лучше выбор функции.

Рассчитаем коэффициент детерминации для уравнения у = 17,8 + 24,5x, полученного в примере, рассмотренном на предыдущей лекции. Вычисляем R², воспользовавшись формулой (3.1) и данными табл. 3.1.

Вначале построим вспомогательную таблицу для определения ошибки аппроксимации и дисперсий фактических и расчетных значений признака (табл. 3.2).

Таблица 3.2

Вспомогательная таблица для расчета ошибки аппроксимации и индекса детерминации для уравнения у = 17,8 + 24,5x

y	yx	y-yx	(y-yx)^2	(y-yср)^2	(yx-yср )^2
48,01	40,04	7,97	63,48	39,64	2,79
38,18	36,37	1,81	3,28	12,49	28,57
38,70	37,84	0,86	0,74	9,09	15,02
46,72	39,31	7,41	54,94	25,06	5,79
41,58	39,31	2,27	5,16	0,02	5,79
36,89	39,55	-2,66	7,09	23,27	4,67
34,54	39,06	-4,52	20,46	51,47	7,03
42,86	40,78	2,08	4,34	1,31	0,88
38,97	40,04	-1,07	1,15	7,53	2,79
43,22	43,96	-0,74	0,55	2,27	5,05
28,19	34,65	-6,46	41,79	182,91	49,84
38,65	35,88	2,77	7,68	9,39	34,05
36,26	39,80	-3,54	12,52	29,75	3,67
32,07	30,49	1,58	2,49	93,01	125,96
32,83	33,92	-1,09	1,19	78,93	60,75
35,16	31,96	3,20	10,24	42,96	95,13
44,56	42,00	2,56	6,54	8,10	0,08
59,16	57,68	1,48	2,20	304,35	254,77
67,99	65,51	2,48	6,14	690,41	566,36
53,73	48,86	4,87	23,72	144,38	51,05
52,39	55,72	-3,33	11,07	113,97	196,06
36,10	45,92	-9,82	96,44	31,52	17,69
32,67	40,78	-8,11	65,73	81,80	0,88
959,43	959,43	0,00	448,93	1983,62	1534,69

Используя суммы, рассчитанные в последней (итоговой) строке таблицы 3.2, для расчета ошибки аппроксимации и индекса детерминации, получаем:

R ² = 0,774 = 77,4% (3.2)

σ² = 4,42 (3.3)

Итак, уравнение регрессии примерно на 77 % объясняет колебания сбора хлеба на душу. Это немало, но, по-видимому, можно улучшить модель введением в нее еще одного фактора.

Одной из дополнительных проблем, возникающих при построении уравнений множественной регрессии, является проблема отбора факторов, которые целесообразно включать в модель. Если известны данные о множестве самых различных факторов, каждый из которых может оказать то или иное влияние на результирующий показатель, обычно отбирают 2-3 фактора по результатам анализа мультиколлинеарности.

В рассмотренном ранее примере известны данные только о двух факторах, которые могут быть включены в модель. Поэтому далее мы рассмотрим построение уравнения двухфакторной линейной регрессии, включив в уравнение, кроме фактора x₁ дополнительный фактор x₂ – урожайность зерна.

Дата добавления: 2014-01-05