Функции 2-х переменных

Безусловная оптимизация.

Целевая функция зависит от нескольких переменных f(х₁, х₂, …, х_n)® min. Т.к. нет дополнительных условий накладывающихся на переменные – безусловная оптимизация.

f(x_1,x₂)

x₂

x₁

Условия определяющие точку минимума – необходимо проанализировать поведение функции в некоторой точке.

х₂

х₂

Часто под окрестностью подразумевают шар.

Рассмотрим вспомогательное построение:

линейное векторное x₃

пространство

(х₁,х₂,х₃)

x₂

x₁

Скалярное произведение векторов , где - длина вектора (норма вектора), - угол между векторами.

S

Допустим, что: ,

Тогда: ;

Допустим, что имеется 2 вектора:

a

Чтобы задать направление, мы задаем вектор.

Нормируем вектор

Нормированный вектор имеет тоже самое направление, но , длина.

Допустим, что задан нормированный вектор .

 

отрицательный

    Скалярное произведение равно 0, тогда года прямой.    

Возвращаемся к функции 2-х переменных:

Отбрасываем члены , приращение будет более точным.

  х₂    

х₁

     

Вектор Þ - формула Тейлора.

х₂

х₁

  Мы рассматриваем как изменяется точка вдоль данного направления. Функция становится функцией одной переменной. - скалярная величина.  

- производная по направлению (вдоль данного направления)

- направление ряда равное направлению grad (£ 0).

grad – вектор, в сторону которого функция изменяется более быстро.

Антиградиент – grad направленный в другую сторону (-grad).

  х₂ grad f f(x) х₂   -grad f

х₁ х₁

  Необходимое условие: - локальный минимум (или максимум). Точки локального экстремума.  

Допустим что мы совершаем малое перемещение . В каком случае (в точке) будет: * больше, чем заданная: тогда, когда угол – острый Þ .

* - если под прямым углом, то не изменяется;

* - если под тупым углом, то приводит к уменьшению функции.

1.

строим поверхности

z

y

Дата добавления: 2014-01-05