Представление чисел в компьютере

Числовые данные обрабатываются в компьютере в двоичной системе счисления. Числа хранятся в оперативной памяти в виде последовательностей нулей и единиц, т.е. в двоичном коде.

Представление чисел в формате с фиксированной запятой. Целые числа в компьютере хранятся в памяти в формате с фиксированной запятой. В этом случае каждому разряду ячейки памяти соответствует всегда один и тот же разряд числа, а запятая находится справа после младшего разряда, т.е. вне разрядной сетки.

Для хранения целых неотрицательных чисел отводится одна ячейка памяти (8 бит). Например, число A₂ = 10101010₂ будет хранится в ячейке памяти следующим образом:

Максимальное значение целого неотрицательного числа достигается в случае, когда во всех ячейках хранятся единицы. Для n-разрядного представления оно будет равно:

2ⁿ - 1

Пример 26. Определить диапазон чисел, которые могут хранится в оперативной памяти в формате целое неотрицательное число.

Минимальное число соответствует восьми нулям, хранящимся в восьми ячейках памяти, и равно нулю.

Максимальное число соответствует восьми единицам, хранящимся в ячейках памяти и равно:

A = 1E2⁷ +1E2⁶ +1E2⁵ + 1E2⁴ + 1E2³ + 1E2² + 1E2¹ + 1E2⁰ = 1E2⁸ – 1 = 255₁₀

Диапазон изменения целых неотрицательных чисел от 0 до 255.

Для хранения целых чисел со знаком отводится две ячейки памяти (16 бит), причем старший (левый) разряд отводится под знак числа (если число положительное, то в знаковый разряд записывается 0, если число отрицательное записывается 1).

Представление в компьютере положительных чисел с использованием формата «знак-величина» называется прямым кодом числа. Например, число 2002₁₀ = 11111010010₂ будет представлено в 16-ти разрядном представлении следующим образом:

При представлении целых чисел в n-разрядном представлении со знаком максимальное положительное число (с учетом выделения одного разряда на знак) равно:

A = 2^n-1 - 1

Пример 27. Определить максимальное положительное число, которое может хранится в оперативной памяти в формате целое число со знаком.

A₁₀ = 2¹⁵ – 1 = 32767₁₀

Для представления отрицательных чисел используется дополнительный код. Дополнительный код позволяет заменить арифметическую операцию вычитания операцией сложения, что существенно упрощает работу процессора и увеличивает его быстродействие.

!	Дополнительный код отрицательного числа A, хранящегося в n ячейках, равен 2^n - |A|.

Дополнительный код представляет собой дополнение модуля отрицательного числа А до 0, поэтому в n-разрядной компьютерной арифметике:

2ⁿ - |A| + |A| ≡ 0

Это равенство тождественно справедливо, т.к. в компьютерной n-разрядной арифметике 2ⁿ ≡ 0. Действительно, двоичная запись такого числа состоит из одной единицы и n нулей, а в n-разрядную ячейку может уместиться только n младших разрядов, т.е. n нулей.

Пример 28. Записать дополнительный код отрицательного числа –2002 для 16-ти разрядного компьютерного представления.

Проведем вычисления в соответствии с определением дополнительного кода:

2^16	=	100000000000000002	6553610
200210	=	00000111110100102	200210
2^16- |200210|	=	11111000001011102	6353410

Проведем проверку с использованием десятичной системы счисления. Дополнительный код 63534₁₀ в сумме с модулем отрицательного числа 2002₁₀ равен 65536₁₀, т.е. дополнительный код дополняет модуль отрицательного числа до 2¹⁶ (до нуля 16-ти разрядной компьютерной арифметики).

Для получения дополнительного кода отрицательного числа можно использовать довольно простой алгоритм:

1. Модуль числа записать прямым кодом в n двоичных разрядах;

2. Получить обратный код числа, для этого значения всех бит инвертировать (все единицы заменить на нули и все нули заменить на единицы);

3. К полученному обратному коду прибавить единицу.

Пример 29. Записать дополнительный код отрицательного числа –2002 для 16-ти разрядного компьютерного представления с использованием алгоритма.

Прямой код	|-200210|	00000111110100102
Обратный код	инвертирование	11111000001011012
	прибавление единицы	11111000001011012 ^+ 00000000000000012
Дополнительный код		11111000001011102

При n-разрядном представлении отрицательного числа А дополнительным кодом старший разряд выделяется для хранения знака числа (единицы). В остальных разрядах записывается положительное число:

2^n-1 - |A|.

Чтобы число было положительным должно выполняться условие:

|A| ≤ 2^n-1

Следовательно, максимальное значение модуля числа А в n-разрядном представлении равно:

|A| = 2^n-1

Тогда, минимальное отрицательное число равно:

A = -2^n-1

Пример 30. Определить диапазон чисел, которые могут хранится в оперативной памяти в формате больших целых чисел со знаком (для хранения таких чисел отводится четыре ячейки памяти - 32 бита).

Максимальное положительное целое число (с учетом выделения одного разряда на знак) равно:

A = 2³¹ – 1 = 2 147 483 647₁₀

Минимальное отрицательное целое число равно:

A = -2³¹ = -2 147 483 648₁₀

Достоинствами представления чисел в формате с фиксированной запятой являются простота и наглядность представления чисел, а также простота алгоритмов реализации арифметических операций (вычитание благодаря использованию дополнительного кода для представления отрицательных чисел сводится к сложению).

Пример 31. Выполнить арифметическое действие 3000₁₀ - 5000₁₀ в 16-ти разрядном компьютерном представлении.

Представим положительное число в прямом, а отрицательное число в дополнительном коде:

Десятичное число	Прямой код	Обратный код	Дополнительный код
-5000			^+0000000000000001

Сложим прямой код положительного числа с дополнительным кодом отрицательного числа. Получим результат в дополнительном коде:

3000-5000

Переведем полученный дополнительный код в десятичное число:

1) Инвертируем дополнительный код: 0000011111001111

2) Прибавим к полученному коду 1 и получим модуль отрицательного числа:

⁺ 0000000000000001

3) Переведем в десятичное число и припишем знак отрицательного числа:
-2000.

Недостатком представления чисел в формате с фиксированной запятой является конечный диапазон представления величин, недостаточный для решения математических, физических, экономических и других задач, в которых используются как очень малые, так и очень большие числа.

Представление чисел в формате с плавающей запятой. Вещественные числа (конечные и бесконечные десятичные дроби) хранятся и обрабатываются в компьютере в формате с плавающей запятой. В этом случае положение запятой в записи числа может изменяться.

Формат чисел с плавающей запятой базируется на экспоненциальной форме записи, в которой может быть представлено любой число. Так число А может быть представлено в виде: A = m×qⁿ

где m – мантисса числа

q – основание системы счисления,

n – порядок числа.

Для однозначности представления чисел с плавающей запятой используется нормализованная форма, при которой мантисса отвечает условию:

1/n ≤ |m| < 1.

Это означает, что мантисса должна быть правильной дробью и иметь после запятой цифру, отличную от нуля.

Пример 32. Преобразуйте десятичное число 888,888, записанное в естественной форме, в экспоненциальную форму с нормализованной мантиссой.

888,888 = 0,888888×10³

Нормализованная мантисса m = 0,888888, порядок n = 3.

Число в форме с плавающей запятой занимает в памяти компьютера четыре (число обычной точности) или восемь байт (число двойной точности). При записи числа с плавающей запятой выделяются разряды для хранения знака мантиссы, знака порядка, порядка и мантиссы.

Диапазон изменения чисел определяется количеством разрядов, отведенных для хранения порядка числа, а точность (количество значащих цифр) определяется количеством разрядов, отведенных для хранения мантиссы.

Пример 33. Определить максимальное число и его точность для формата чисел обычной точности, если для хранения порядка и его знака отводится 8 разрядов, а для хранения мантиссы и ее знака 24 разряда.

знак и порядок

знак и мантисса

Максимальное значение порядка числа составит 1111111₂ = 127₁₀, и, следова­тельно, максимальное значение числа составит:

2¹²⁷ = 1,7014118346046923173168730371588×10³⁸

Точность вычислений определяется количеством разрядов, отведенных для хранения мантиссы чисел. Максимальное значение положительной мантиссы равно:

2²³ - 1 ≈ 2²³ = 2^(10х2,3) ≈ 1000^2,3 = 10^(3х2,3) ≈ 10⁷

Таким образом, максимальное значение чисел обычной точности с учетом возможной точности вычислений составит 1,701411×10³⁸ (количество значащих цифр десятичного числа в данном случае ограничено 7 разрядами).

При сложении и вычитании чисел в формате с плавающей запятой сначала производится подготовительная операция выравнивания порядков. Порядок меньшего (по модулю) числа увеличивается до величины порядка большего (по модулю) числа. Для того чтобы величина числа не изменилась, мантисса уменьшается в такое же количество раз (сдвигается в ячейке памяти вправо на количество разрядов, равное разности порядков чисел).

После выполнения операции выравнивания одинаковые разряды чисел оказываются расположенными в одних и тех же разрядах ячеек памяти. Теперь операции сложения и вычитания чисел сводятся к сложению или вычитанию мантисс.

После выполнения арифметической операции для приведения полученного числа к стандартному формату с плавающей запятой производится нормализация, т.е. мантисса сдвигается влево или вправо так, чтобы ее первая значащая цифра попала в первый разряд после запятой.

Пример 34. Произвести сложение чисел 0,1×2³ и 0,1×2⁵ в формате с плавающей запятой.

Произведем выравнивание порядков и сложение мантисс:

0,001×2⁵

⁺0,100×2⁵

0,101×2⁵

При умножении чисел в формате с плавающей запятой порядки складываются, а мантиссы перемножаются. При делении из порядка делимого вычитается порядок делителя, а мантисса делимого делится на мантиссу делителя.

Пример 35. Произвести умножение чисел 0,1×2³ и 0,1×2⁵ в формате с плавающей запятой.

После умножения будет получено число 0,01×2⁸, которое после нормализации примет вид 0,1×2⁷.

Источники:

1. Угринович Н.Д. Информатика и информационные технологии.
М. БИНОМ. Лаборатория знаний. 2003

2. Windows-CD по курсу "Информатика и ИКТ", версия 4.1, 2005

3. www.metodist.ru/content/view/44/98/

Дата добавления: 2014-01-05