Переход к лучшему опорному плану

Пусть рассматриваемый опорный план не оптимален. Для перехода к плану с меньшим значением целевой функции необходимо увеличить на максимально возможную величину объем перевозки в любой небазисной клетке (i,j) с . Обычно решение отыскивается быстрее, если выбрана клетка с наибольшим значением .

Пусть выбрана клетка с . Соответствующая небазисная переменная =0. Объем перевозки увеличиваем пока на неизвестную величину Q.Тогда для того, чтобы не нарушить баланс строки a, необходимо в строке a уменьшить объем перевозки некоторой базисной переменной на эту же величину Q. Но, уменьшив ее, мы нарушаем баланс столбца , который может быть восстановлен добавлением Q к некоторой базисной переменной столбца . Нарушенный баланс строки восстанавливается уменьшением на Q некоторой другой базисной переменной строки , и т.д….

Если таким образом удается прийти к уменьшению некоторой базисной переменной столбца b, то действительно можно увеличить объем перевозки в клетке . Тем самым будут найдены объемы перевозок, увеличиваемые или уменьшаемые на величину Q. Если полученные клетки соединить прямыми линиями, то получается замкнутая линия, называемая циклом. Цикл обладает следующим свойством: линия начинается и кончается в небазисной клетке , остальные вершины ломаной принадлежат строкам и столбцам таблицы, на пересечении которых находятся базисные клетки, угол между двумя соседними сторонами равен 90⁰. Такой цикл всегда существует для любой небазисной клетки и он единственный.

Пусть цикл, соответствующий клетке , построен. В клетке ставится знак «+», а далее поочередно в вершинах цикла ставятся «-», «+»… Объемы перевозок, отмеченные «+», увеличиваются, а «-» – уменьшаются на величину Q=min{}. Таким образом, величина Q прибавляется ко всем объемам перевозок, отмеченных знаком «+», и вычитается от всех объемов перевозок, отмеченных знаком «-».

В результате получаем новый опорный план, в котором переменная становится новой базисной переменной, а одна из базисных переменных , значение которой стало =0, становится небазисной переменой (выводится из базиса). При этом значение целевой функции уменьшается на . Полученный новый опорный план записывается в новой распределительной таблице, и вновь проверяется на оптимальность и т.д. пока не получат оптимальный опорный план.

Примечание. Если в процессе построения начального опорного плана или в ходе решения получается вырожденный опорный план, то чтобы избежать зацикливаний, необходимо нулевым базисным переменным придать сколь угодно малое значение e>0 и решить задачу как невырожденную. В оптимальном плане такой задачи необходимо считать e=0.

Дата добавления: 2014-01-05