Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Тема : Элементы логики высказываний

I О

А Е

 

 

 


Высказывания. Равносильные преобразования.

Таблицы истинности.

Методы решения формул:

приведением к абсурду; аналитических таблиц.

Гипотеза. Претендент на следование. Выводимость.

 
 


Высказывание – это утверждение об объектах, имеющее однозначный, точно определенный смысл (формулировка Н. Непейводы)

Логику высказываний иногда называют «пропозициональная логика» (от англ. proposition – предложение, утверждение).

Высказывания могут быть простыми и сложными.

Простые – которые не содержат в себе высказываний. Простые высказывания называются часто элементарными или атомарными. Сложные – молекулярными.

Основные законы (равносильные преобразования):

Закон идемпотентности А ∩ А = А; А ∪ А = А

Коммутативный А ∩ В = В ∩ А; А ∪ В = В ∪ А

Ассоциативный (А ∩ В) ∩ С = А ∩ (В ∩ С) = А ∩ В ∩ С;

(А ∪ В) ∪ С = А ∪ (В ∪ С) = А ∪ В ∪ С

Дистрибутивный А ∩ (В ∪ С) = (А ∩ В) ∪ (А ∩ С);

А ∪ (В ∩ С) = (А ∪ В) ∩ (А ∪ С)

Закон поглощения А ∩ (А ∪ В) = А

А ∪ (А ∩ В) = А

Закон де Моргана Ø(А ∩ В) = ØА ∪ ØВ

Ø(А ∪ В) = ØА ∩ ØВ

Закон двойного дополнения (отрицания) ØØА = А

Универсум и пустое множество А ∩ U = А

А ∪ U = U

А ∩ Æ = Æ

А ∪ Æ = А

ØU = Æ

ØÆ = U

Законы по отношению к операциям пересечения и объединения подчинены принципу двойственности:

Если в любом верном тождестве все знаки пересечения заменить знаками объединения, а все знаки объединения – знаками пересечения, знак универсума – знаком пустого множества и наоборот, то получим снова верное тождество.

 

 

Операции над высказываниями:

 

А В АÙВ
и и и
и л л
л и л
л л л

Конъюнкция Дизъюнкциия Строгая (сильная) дизъюнкция

А В А ύВ
и и л
и л и
л и и
л л л
А В АÚВ
и и и
и л и
л и и
л л л

 

 

Импликация Эквиваленция (двойная импликация)

А В А→В
и и и
и л л
л и и
л л и
А В А↔В
и и и
и л л
л и л
л л и

 

 

Символ Лукасевича

Отрицание Операция Шеффера (стрелка Пирса)

А ØА
и л
л и
А В А/В
и и л
и л и
л и и
л л и
А В А↓В
и и л
и л л
л и л
л л и

 

Импликация – единственная несимметричная операция. Для нее справедливо следующее правило:

Импликация истинна всякий раз, когда ее антецедент ложен (независимо от значения консеквента), либо когда консеквент истинен (независимо от значения антецедента)

Антецедент – от лат. antecedent – предшествующий

Консеквент – от лат. consequens – последующий

Удобно использовать универсальную таблицу истинности значений

 

А В Т АÚВ В→А А А→В В А↔В АÙВ А/В АύВ ØВ Ø(А→В) ØА Ø(В→А) А↓В ^
и и и и и и и и и и л л л л л л л л
и л и и и и л л л л и и и и л л л л
л и и и л л и и л л и и л л и и л л
л л и л и л и л и л и л и л и л и л

 

Полученные формулы в логике высказываний можно решать алгебраически, т.е. не отвлекаясь на конкретное содержание того или иного высказывания. Существует несколько методов решения формул (высказываний):

Метод таблиц истинности (истинностных таблиц)

Метод приведения к абсурду

Метод аналитических таблиц (таблицы Бетта)

 

Рассмотрим их подробнее.

Метод таблиц истинности наиболее нагляден и прост, однако не всегда удобен, т.к. обладает эффективностью лишь при n £ 5 (число возможных вариантов истинности аргументов высказывания есть 2n). При большем значении n таблица получается весьма громоздкой и неудобной. Поэтому формулы, содержащие большее количество аргументов решаются только аналитически, с помощью других методов.

Метод приведения к абсурду.

Рассмотрим пример:

Пусть дана формула А→(В→А)

Допустим, что она – не тавтология, (т.е. ложна)

Поскольку формула представляет собой импликацию, то получаем, что антецедент имеет значение «и», а консеквент – значение «л».

При этом внутренняя формула (консеквент исходной) также ложна, а ее консеквентом (а значит, имеющим значение лжи) является аргумент А, который в исходной формуле имеет значение «и».

Получается абсурд: один и тот же аргумент («А») в одном и том же высказывании имеет разные значения в одно и то же время: Аи и Ал.

Такого по законам логики быть не может, поэтому наше предположение (“допустим, что она ложна”) неверно.

 

Метод приведения к абсурду эффективен лишь в импликативных высказываниях, для проверки гипотез на противоречивость. При этом консеквент импликации называется претендентом на следование

Другими словами, претендент на следование имеет право занимать свое место лишь тогда, когда формула является тождественно истинной. Если же найдется хотя бы один набор аргументов, при котором формула имеет значение лжи, претендент на следование стоит незаконно.

Выражаясь языком логики, это означает, что данный претендент на следование не выводится с необходимостью из данных посылок.

Метод аналитических таблиц

Во многом аналогичен предыдущему методу.

Так же предназначен для проверки выводимости претендента на следование из имеющейся гипотезы. Однако предполагает наличие определенных правил:

 

1. Всякая формула начинается с литеры

литера Т – истинность формулы

литера F – ложность формулы

 

F ØА
Т А
Т ØА
F А

2. Всякая формула раскладывается в соответствии со следующими условиями:

для отрицания

(дополнения):

 

Т А Ù В
Т А Т В
F А Ù В
F А F В

для конъюнкции:

 

 

F А Ú В
F А F В
Т А Ú В
Т А Т В

 

для дизъюнкции:

 

 

Т А → В
F А Т В
F А → В
Т А F В

 

для импликации:

 

F А ↔ В
Т А F В F А Т В
Т А ↔ В
Т А Т В F А F В

 

для эквиваленции

(тождества):

 

Т А ύ В
Т А Т В F А F В
F А ύ В
F А Т В Т А F В

 

для строгой дизъюнкции:

 

 

Т А / В
Т А F В F А Т В F А F В
F А / В
Т А Т В

 

для операции Шеффера:

 

Т А ↓ В
F А Т В Т А F В Т А Т В
Т А ↓ В
F А F В

 

для операции Пирса:

 

 

[примечание: в качестве аргумента может стоять любая формула]

Решение ведется по следующему алгоритму:

Всегда начинаем с литеры F – попытка опровергнуть формулу

Если в каком-то столбце встречается один аргумент с разными литерами, то такой столбец считается замкнутым

Если все столбцы в таблице замкнуты, таблица называется замкнутой

Если таблица замкнута, то формула – тавтология

Пример:

Пусть дана формула ((А → В) Ù (В → С)) → (А → С)

F ((А → В) Ù (В → С)) → (А → С)
Т ((А → В) Ù (В → С)) F (А → С)
Т А → В Т В → С
Т А F С
F А Т В
F В Т С F В Т С
´ ´ ´ ´

Решение:

 

 

– столбцы замкнуты

Таблица получилась замкнутой, формула – тавтология.


Тема: Умозаключение. Категорические умозаключения.

Умозаключение. Посылки.

Больший, средний и меньший термины.

Непосредственные и опосредованные умозаключения.

Простой категорический силлогизм (ПКС). Правила силлогизма.

 
 


Умозаключением называется связь суждений, заключающаяся в выведении из одного или нескольких суждений нового суждения.

Умозаключением называют также и форму мышления, при которой достигается получение нового знания из ранее известных суждений.

Необходимо помнить, что для получения истинного заключения надо, чтобы взятые нами суждения были истинными[1]. Только в этом случае мы с необходимостью должны признать истинным наше новое знание.

Всякое умозаключение состоит из:

Посылки – исходные суждения

Заключение – новообразованное суждение

Вывод – логическая операция перехода от посылок к заключению

Посылки должны иметь связь по содержанию, иначе невозможно будет сделать какой-либо вывод. В самом деле, из посылок:

Пушкин – русский поэт

Некоторые студенты имеют задолженность

нельзя сделать какой-либо вывод, поскольку в каждом из суждений подразумевается несовместимое с содержанием другого суждения.

Однако, даже если мы имеем логическую связь по содержанию между суждениями в посылках, это еще не означает, что вывод будет правилен и истинен. Для правильности и истинности необходимо выполнение двух условий:

1) Истинность посылок

2) Соблюдение правил вывода, которые обусловливают логическую правильность умозаключения.

Виды умозаключений:

1) В зависимости от строгости правил вывода:

— Демонстративные (необходимые)

— Недемонстративные (правдоподобные)

2) По направленности логического следования:

— дедуктивные (от общего к частному)

— индуктивные (от частного к общему)

— умозаключения по аналогии (от частного к частному)

Иногда различают еще простые и сложные умозаключения.

Простые – содержащие, как правило, 3 термина (понятия) и имеющие 1 или 2 посылки

Сложные – соответственно, имеющие бóльшее число терминов и посылок

 

Термин – это специфическое название (в умозаключении) понятия, которое фигурирует в посылках или заключении. Каждый из терминов имеет свое название и обозначение:

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Кстати:Иногда простые суждения называют атомами (атомар­ными), а сложные суждения – молекулами (молеку­лярными) | Меньший термин – S
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-05; Просмотров: 997; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.013 сек.