Определить эффективность инверсионной операции, если 1 мая купили 1 000 евро по курсу 31 руб., а 1 июля продали по 34 рубля.

Дано: P = 31000, S = 34000, n = 2 мес НАЙТИ: i_э

Решение:

n = 1/6

S = P(1+i*n)

34 000 = 31000(1+i*1/6)

i = 58%

ЗАДАЧА 6:

В банк положена сумма 10 000 руб. сроком 4 года, под 18% 1) сложные проценты 2) простые проценты. Какую сумму получим через 4 года.

Дано: Р = 10 000, n = 4 года, i = 18 % Найти: S -?

Решение:

1. Сложные проценты:

S = P(1+ i)ⁿ

S = 10 000 (1+0,18)⁴= 19 387, 78 руб

1. Простые проценты:

S = P (1+i*n)

S = 10 000 (1+0,18*4) = 17 200 руб

ЗАДАЧА 7:

Номинал векселей 5 000 000 руб. срок погашения – 5 лет. Ставка сложная по векселю. Определить дисконт. Ставка 15 %.

Дано: S = 5 000 000, n = 5, d = 15% Найти: D-?

Решение:

Р = S (1-d)ⁿ

Р = 5 000 000 (1 – 0,15)⁵ = 2 220 061, 88 руб

D = S – P = 5 000 000 - 2 220 061, 88 =

Непрерывные проценты.

Непрерывные проценты большое значение имеют при анализе сложных финансовых проблем, так как:

1. Обоснование и выбор инвестиционных решений.
2. Финансовое проектирование.
3. Оценка доходности портфеля ценных бумаг.

С помощью непрерывных процентов удается учесть сложные закономерности наращения процентов, например использования изменения по определенному закону процентной ставки. При непрерывном наращении проценты имеют особый вид процентной ставки, которую называют силой роста. Сила роста характеризует относительный прирост наращенной суммы за бесконечно малый промежуток времени t. Сила роста может быть как постоянной, так и изменяться во времени.

Постоянная сила роста:

S = P (1+j/m)^m*n, т.к. lim (1+j/m)^m = e^j, т.к. S = P*e^Q*n

Меняющаяся сила роста:

Q = f(t)

F(t) = Q₀+at

S = P*e^{интеграл от f(t)dt}

P = S* e ^{-интеграл от f(t)dt}

Наращение процентов и инфляция.

Пусть обозначим J_nc – индекс покупательной способности денег за период охватывающий финансовую операцию.

S*I_nc = C – реальная сумма, наращенная сумма с учетом пониженной покупательной способности.

I_nc = 1/I_p

H = I_p - 1 – темп инфляции

Начисление простых процентов:

C = S/ⁿ I_p = P (1+ni)/ ⁿ I_p = P (1+ni)/ (h(с чертой)+1)ⁿ

Начисление сложных процентов:

C = S/ⁿ I_p = Р(1+i)ⁿ / (h(с чертой)+1)ⁿ

^{I > h(c чертой) – реальный рост}

^{I < h(c чертой) – эрозия капитала}

^{I = h(c чертой) – сохраняем} деньги

Измерим реальную доходность финансовых операций.

r-объявленная ставка доходности

i-реальная ставка доходности

I_p-индекс цен за весь период

1) i = ((1+nr)/ I_p )- 1

2) I = ((1+r) / (1+h(c чертой)) - 1

Конверсия платежей. Эквивалентность процентной ставки. Финансовая эквивалентность обязательств.

Эквивалентными платежами считаются такими, которые будучи приведенными к одному моменту времени, оказались равными.

Консолидирование задолженности.

Рассмотрим общий метод решения задач. Изменение условия выплат заключается в разработке так называемого уравнения эквивалентности, в котором суммы заменяемых платежей приравниваются к суммам замещающих приведенных к одному и тому же моменту времени.

Пусть есть какие то платежи S1,S2..Sm в какие то моменты времени они выплачены n1,n2…Nm

1.Осуществить один платеж в момент n0 – консолидировать.

2.Второй случай – консолидируется S0

Эквивалентность процентных ставок.

Если замена F-вида ставки на другую не изменяет финансовые отношения сторон, то такие ставки называются эквивалентными.

Формулу эквивалентных ставок во всех случаях получим из равенства, взятых попарно множителей наращения.

Эквивалент простых и сложных ставок наращения:

i_s – простая, i-сложная

i_s= ((1+i)ⁿ – 1) / n

i = (ⁿ корень из 1+n i_s) - 1

Эквивалент простых ставок наращения и учетной ставки:

1+n i_s = 1/ (1-nd_s)

i_s = d_s / (1-nd_s)

ЗАДАЧА 1:

До какой величины вырастит сумма долга в размере 250 000, взятого на 18 месяцев под 20 % годовых сложных с ежеквартальным начислением.

ДАНО: Р = 250 000, n – 1,5 года, i – 0,2, m – 4 НАЙТИ: S -?

РЕШЕНИЕ:

S = P (1+i/m)^m*n

S = 335 024 руб.

ЗАДАЧА 2:

31 декабря 2002 года получили 30 000 руб. Какая сумма была положена на ваш счет, если счет был открыт за 1 год до этого, при объявленной ставке 15 % годовых сложных при помесячном начислении процентов.

ДАНО: S = 30 000, n – 1 год, i – 0,15, m – 12 НАЙТИ: Р -?

РЕШЕНИЕ:
S = P (1+i/m)^m*n

P = 25 845 руб

ЗАДАЧА 3:

Какова эффективная ставка, если номинальная ставка 25% при помесячном начислении процентов.

ДАНО: j = 0,25 m = 12 НАЙТИ: i_эф =?

РЕШЕНИЕ:

i_эф = (1+j/m)^m

i_эф = 28 %

ЗАДАЧА 4:

Какова эффективная ставка проведенной сделки в виде годовых простых процентов, если 1 апреля была конвертирована сумма 310 000 руб. в евро по курсу 31 рубль. Полученная сумма положена на трехмесячный депозит под 3 % годовых простых. 1 июля деньги не были получены по договору и произошла пролонгация до 1 октября. 1 октября была снята окончательная сумма и она была переведена в рубли по курсу 33 руб. 50 коп.

ДАНО: Р = 310 000 руб. n = ¼ i= 0,03 k1 = 31 k2 = 33,5 НАЙТИ: i_эф -?

РЕШЕНИЕ:
S = P^,(1+in)(1+in)

S = 310 000 / 31* (1+0,03* ¼)(1+0,03* ¼)*33,5 = 340 000 руб

S = P(1+in)

i= 19 %

Если i_эф > 0, то операция убыточная.

ЗАДАЧА 5:

Начальная сумма 10 000 000 руб. Начальный уровень силы роста 8 %. Ставка непрерывна и линейно изменяемая. Относительный годовой прирост 2 %. Найти соответствующий множитель наращения, при условии начисления процентов в течение 5 лет.

ДАНО: Р = 10 000 000 a= 0,08 n = 5 Q₀ = 0,08 НАЙТИ: S -?

РЕШЕНИЕ:

Q = Q₀ + at

S = P*e^{интеграл от (Q0 + at)dt}

S = 19 150 000 руб

ЗАДАЧА 6:

Начальная сумма 200 000. Ставка непрерывно растет. Сила роста – 10 %. Проценты начисляются в течение 5 лет. Найти наращенную сумму.

ДАНО: Р = 200 000 Q = 0,1 n = 5 лет НАЙТИ: S -?

РЕШЕНИЕ:

S = P*e^Q*n

S = 328 633, 53 руб

ЗАДАЧА 7:

2 года назад положили сумму на депозит в размере 10 000 руб. Определить наращенную сумму, с учетом пониженной покупательной способности, если уровень инфляции первые полгода – 5 %, вторые полгода – 4 %, третьи полгода – 1 %, четвертые полгода – 2 %. Ставка 12 % годовых сложных.

ДАНО: Р = 10 000 H1 = 0,05 H2 = 0,04 H3 = 0,01 H4 = 0,02 n = 2 i=0,12 НАЙТИ: C-?

РЕШЕНИЕ:

C = S/ⁿ I_p = Р(1+i)ⁿ / (h(с чертой)+1)ⁿ

С = (10 000 (1+ 0,12)²) / ((0,04 +1)^1/6(0,05 +1)^1/6(0,01 +1)^1/6(0,02 +1)^1/6) = 11 150 руб

ЗАДАЧА 8:

Поставщик оборудования получает на счет за редкую модель 20 000 000 руб. с задержкой в 3 месяца. Себестоимость данной модели 16 000 000 руб. Определить доходность в виде процентных ставок простой и сложной коммерческих операций, если уровень инфляции за 1 месяц – 1 %, 2 – 1%, 3 – 2 %.

ДАНО: n = 3 h1 = 0.01 h2 = 0.01 h3 = 0.02 P = 16 000 000 S = 20 000 000 НАЙТИ: i -?

РЕШЕНИЕ:

J = (1+h1) (1+h2) (1+h3) = 1,04

С = S / J_p = 20 000 000 / 1.04 = 19232769.23

Простые:

i= (C – P) / P*n = 19232769.23 – 16 000 000 / 16 000 000*1/4 = 0.81 = 81 %

Сложные:

(1+i)ⁿ = C/P

i= – 1 = 1.08 = 108 %

ЗАДАЧА 9:

Вексель простой выдается на сумму 500 000 руб. с уплатой в конце года. Какую сумму получит владелец, если он учтет вексель за 5 мес до срока погашения по простой учетной ставке 12 % годовых.

ДАНО: d = 0,12 S = 500 000 n = 5/12 НАЙТИ: Р?

РЕШЕНИЕ:
D = S*n*d

D = S – P

P = S – S*n*d

P = S (1 – n*d)

P = 475 000 руб

Постоянные финансовые ренты.

Виды потоков платежей.

Современные банковские операции часто предполагают не отдельные разовые платежи, а некоторую их последовательность во времени. Например, выплата стипендии, продажа в кредит. Такие последовательные платежи или ряды платежей называются потоком платежей.

Классификация потоков:

1. Регулярные.

2. Нерегулярные.

Нерегулярные – выплаты могут быть как положительные, так и отрицательные. Периоды между ними не одинаковые и распространены в пространстве.

Поток платежей, все члены которого положительные величины, а временные интервалы между двумя последовательными платежами постоянны, называются финансовой рентой.

Рента характеризуется:

1. Членом ренты, т.е. размером отдельного платежа.

2. Периодом ренты, интервалом между выплатами.

3. Сроком ренты.

4. Процентной ставкой.

5. Числом платежей в году, частотой и способом начисления процентов.

Регулярные ренты. Они отличаются:

1. По количеству выплат в течение года. Существует годовая рента и R-срочная, т.е. R выплат в течение года.

2. По количеству процентов в году. Различают с ежегодным начислением и с начислением N раз в год.

3. По размеру отдельного платежа. Различают постоянные и переменные.

4. По вероятности выплат. Различают верные и условные (страховки). Выплата условной ренты ставится в зависимость от наступления некоторого случайного события. Число ее членов заранее нам не известно.

5. По количеству членов. Различают ограниченные по срокам и вечные.

6. По началу срока. Различают немедленные и отложенные (выплата кредитов).

7. По методу выплат платежей в пределах периода. Различают нормальные (постнумерандо), по которым предусматриваются выплаты в конце периода, пренумерандо – когда выплата в начале периода и промежуточный.

Чаще всего в ходе анализа потоков платежей предполагается расчет либо наращенной суммы потока, либо современной стоимости потока.

Наращенная сумма потока – сумма всех членов потока платежей с начисленными на них к концу срока процентами.

Современная стоимость потока (капитализируемая) – сумма всех членов потока платежей, дисконтированных на начало срока потока либо на некоторый учреждающий момент времени.

Пусть существует поток платежей R_t выплачиваемый в момент времени h_t, общий срок потока n, проценты начисляются один раз в год, потоки не равны, i-учетная ставка.

S = _t (1 + i)^n-nt

А = _t

Дата добавления: 2014-01-05