Оценка значимости параметров и уравнения регрессии. Критерии Фишера и Стьюдента

Нахождение оценок значимости по формулам называется статистическим оцениванием. Его цель – получить наиболее точные значения оценивающих характеристик. Оценки бывают 2 видов:

- точечная (q) – численное значение этого параметра, полученное по выборке объемом n;

- интервальная – числовой интервал, который с заданной вероятностью g накрывает неизвестное значение параметра q.

Свойства точечных оценок:

1) несмещенность – математическое ожидание оценки равно истинному значению в генеральной совокупности: М(q^*)=q. Истинное значение генеральной совокупности равно М(Х)=m. Смещение оценки равно разнице между ее математическим ожиданием и истинным значением в генеральной совокупности.

2) эффективность – оценка имеет минимальную дисперсию среди всех несмещенных оценок, полученных по одному и тому же набору наблюдений: Д(q^*)=Д_min. Оценка называется эффективной, если с увеличением объема выборки дисперсия оценки стремится к 0: Д(q)®0 при n®0. Несмещенность и эффективность могут друг другу противоречить.

3) состоятельность – оценка, которая дает точное значение параметра при большой выборке вне зависимости от конкретных значений, входящий в выборку наблюдений при n®0 P(½q^*-q½<e)®1 (при увеличении объема выборки вероятность того, что мы будем иметь малое отклонение от истины будет стремиться к 1).

Общее качество уравнения регрессии оценивается тем, насколько хорошо уравнение согласовано с фактическими наблюдениями. Мерой соответствия уравнения регрессии фактическим наблюдениям является коэффициент детерминации: 0£R²£1. R²=r²_xy – в случае парной регрессии коэффициент детерминации является квадратом парной линейной корреляции. R² показывает долю факторной дисперсии зависимой переменной у, объясняемую уравнением регрессии, в общей дисперсии результативного признака.

R²=S(ŷ_x-y)²/S(y_i-y)²

Для проверки статистической гипотезы о значимости R² и уравнения в целом применяют критерий Фишера. Для этого сначала формулируем гипотезу: H₀: Д_регр=Д_ост – уравнение незначимо

H₁: Д_регр>Д_ост

Для проверки гипотезы используем случайную величину, распределенную по закону Фишера. Рассчитывается ее наблюдаемое значение:

F_набл=(S(ŷ_x-y)²/m)/(S(y_i-ŷ_х)²/(n-m-1))

Проверка качества уравнения регрессии и значимости параметров уравнения: F_набл> F_{крит(табл); (a, m, n-m-1)}

Критерий Фишера можно определить, используя коэффициент детерминации:

F_набл= R²/(1- R²) * (n-m-1)/m

Для проверки статистической значимости коэффициентов регрессии и свободного коэффициента а применяется случайная величина, распределенная по закону Стьюдента: H₀: b=0 – коэффициент незначим

H₁: b¹0

Расчетный (наблюдаемый) критерий Стьюдента: t_набл=b/m_b, где m_b – величина случайной ошибки

m_b=ÖS(y_i-ŷ_x)²/(n-m-1)/S(x_i-x)

Если t_набл> t_{крит(табл)}, то Н₀ отклоняется, делается вывод о значимости коэффициента регрессии.

H₀: а=0

H₁: а¹0

t_а=а/m_а

m_а=ÖS(y_i-ŷ_x)²/(n-m-1) * Sx_i²/nS(x-x)²

Если t_набл> t_{крит(табл)}, то Н₀ отклоняется, делается вывод о значимости свободного члена регрессии.

Дата добавления: 2014-01-05