Курс лекций

F(∆y^”, ∆y^’, y₀ + ∆y, x₀ + ∆x) = 0

Раскладывая левую часть уравнения в ряд Тейлора относительно точки установившегося состояния с координатами (0, 0, x, y), получим:

(2)

Индекс «0» означает, что производные берутся в точке x = x₀, y = y₀, из чего следует, что ∆x=∆y=0. Здесь в уравнении (2) не написаны члены, содержащие отклонения ∆x и ∆y в степени, выше первой. Частные производные в уравнении (2) – это числа, величина которых зависит от вида функции F(y^”, y^’, y, x,) = 0 и значений x₀ и y₀.

Полагая отклонения ∆x и ∆y и их производные по времени малыми, отбросим в уравнении (2) все члены, содержащие отклонения ∆x и ∆y, а также их производную в степени, выше первой, получим:

(3)

Уравнение (3) является линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами I, II, III, IV.

Необходимым условием линеаризации является разложимость в ряд Тейлора функции:

.

Уравнение (3) приближенно заменяет уравнение (1) лишь в некоторой малой окрестности точки с координатами (0, 0, x, y). Величина этой окрестности зависит от вида функции , т.е. от величины производных порядка, выше первого в рассматриваемой точке. Линеаризованное уравнение обычно записывается в каноническом виде:

(4)

Линеаризация уравнения (1) при помощи разложения в ряд Тейлора означает замену поверхности, описываемой этим уравнением в пространстве переменных плоскостью касательной к поверхности точки с координатами 0, 0, y₀, x₀. Ошибка линеаризации тем меньше, чем меньше отклонение друг от друга точек поверхности (1) и точек плоскости (4).

Пример составления дифференциального уравнения звеньев систем управления.

Пример1: составим дифференциальное уравнение двигателя постоянного тока с независимым возбуждением и проведем его линеаризацию:

Рис.1.

М_с – момент сопротивления;

М_д – момент движения.

По второму закону Ньютона для вращательного движения уравнение для моментов на валу двигателя имеет вид:

, где (1)

ω – угловая скорость и момент инерции движущихся частей, приведенных к валу;

М_д – вращающий момент

М_с – момент сопротивления на валу двигателя.

М_д представляет из себя функцию двух переменных: скорости вращения и????, а момент сопротивления функцию двух переменных (ω, t):

М_д = М_д(ω, u),

М_с = М_с(ω, t)

Т.к. М_д = М_д(ω, u) и М_с = М_с(ω, t) являются нелинейными функциями (см. рис.1), то уравнение (1) будет нелинейным дифференциальным уравнением.

Для линеаризации уравнения (1) перейдем к уравнению в отклонениях от установившегося режима, т.е. в точке, где М_с0 = М_д0. Пусть при этом ω = ω_{0 ,} а u = u₀. Разложим нелинейные функции М_д(ω, u), М_с(ω, t) в ряд Тейлора в окрестностях точки ω₀ и u₀ и отбросим члены, содержащие производные, выше первого порядка:

(2)

(3)

Подставив (2) и (3) в (1) получим:

(4)

В уравнении (4) все члены имеют размерность момента, однако часто бывает необходимо получить уравнение в относительных единицах с безразмерными коэффициентами или с коэффициентами размерности времени в степени, равной порядку соответствующей производной.

Разделим обе части уравнения на номинальное значение М_н:

Выберем некоторые величины переменных в качестве базисных.

Для напряжения u удобно взять максимальное значение u_мах, а для угловой скорости – её номинальное значение ω_н.

Умножив и разделив каждый член уравнения на соответствующую базисную величину, получим:

Введем обозначения:

Подставив эти коэффициенты в уравнение, получим:

Функция f(t) характеризует возмущающее воздействие, x(t) – управляющее воздействие, y(t) – выходную величину. Коэффициент Т имеет размерность времени (секунды) и называется постоянной времени двигателя.

Отношение k_y/k_c характеризует зависимость между выходной координатой y и входным воздействием x в установившемся режиме и называется коэффициентом усиления.

Пример2: получение дифференциального уравнения электрического пассивного четырехполюсника.

Входной характеристикой является напряжение на входных зажимах u(t), выходной – напряжение на конденсаторе u_с. Т.к. цепь является линейной (все элементы цепи линейные), уравнение можно составлять как в отклонениях, так и в безразмерных относительных единицах.

Падение напряжения на резисторе R:

,

Падение напряжения на индуктивности:

По второму закону Кирхгофа имеем, что приложенное напряжение – это его падение на всех элементах цепи:

Если обозначить U(t) = x; CL = ; RC = T₂, то тогда:

Составление дифференциальных уравнений систем автоматического управления.

Имея дифференциальные уравнения элементов системы и уравнения связи можно получить дифференциальные уравнения всей системы. Однако при исследовании систем управления обычно необходимо знать поведение выходной координаты системы, а не всех её элементов, поэтому можно от системы уравнений описывающих поведение элементов путем исключения промежуточных переменных перейти к одному уравнению. Это уравнение будет содержать только выходную координату системы, а также внешние воздействия. Зная внешнее воздействие, приложенное к системе, и решив дифференциальное уравнение, можно найти реакцию системы управления на эти воздействия. Пусть имеем уравнение объекта управления:

(1)

и уравнение управляющего устройства:

(2)

Запишем уравнение всей системы управления относительно ∆y. Для этого найдем из уравнения (1) величину ∆x, а также её производную:

Подставив значение ∆x и в уравнение (2), получим уравнение системы управления:

Таким образом, если объект управления и устройство управления описываются дифференциальными уравнениями первого порядка, то система управления в целом описывается дифференциальным уравнением второго порядка.

Пусть теперь объект управления описывается уравнением (1), а устройство управления – дифференциальным уравнением второго порядка:

(3)

Для получения дифференциального уравнения системы управления необходимо получить значение ∆x, а также первую и вторую производные от ∆x:

Подставив в уравнение (3) выражение для ∆x, и , получим искомое уравнение для всей системы в целом:

Полученное уравнение третьего порядка устанавливает связь между возмущающим воздействием f на систему и реакцией системы y.

Таким образом, для получения дифференциального уравнения системы, необходимо получить вначале дифференциальное уравнение для объекта управления и устройства управления; исключив из полученных уравнений промежуточные величины, можно получить дифференциальное уравнение относительно интересующих нас величин, но, как правило, эти преобразования очень трудоемки и громоздки.

Для того чтобы упростить решение данной и других задач, в теории автоматического управления вместо рассмотрения величин, характеризующих состояние во времени – оригиналов, рассматриваются соответствующие им изображения, полученные при помощи преобразований Лапласа.

Таким образом, при исследовании и расчетах систем управления широко используются операции исчисления, позволяющие существенно облегчить исследование сложных систем.

Операционное исчисление основывается на преобразованиях Лапласа и Фурье, которые позволяют заменять операции дифференцирования и интегрирования функций на операции более низкого ранга.

Линейные системы.

Система называется линейной, если уравнение динамики и, следовательно, статики этой системы линейны.

К линейным системам применим принцип суперпозиции, который формулируется следующим образом:

Пусть , где j = 1, 2, …, m – некоторые входные сигналы линейной системы, а – её реакция на каждый из сигналов, тогда для линейной системы суммарная реакция на суммарный входной сигнал равна:

Передаточная функция линейной системы.

Линейные системы в общем случае могут быть описаны дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами вида:

Используя свойство (3), дифференцирование оригинала, к обеим частям уравнения получим:

При нулевых начальных условиях найдем связь между лапласовскими изображениями системы y(t) и входного воздействия на систему x(t), получим:

Функция представляющая собой отношение изображения выходного сигнала линейной системы к изображению входного сигнала при нулевых начальных условиях, называется передаточной функцией линейной системы.

Смысл передаточной функции заключается в том, что она представляет собой некий оператор, преобразующий внешнее воздействие на входе в реакцию системы на выходе, т.е.:

Таким образом, любой линейный объект может быть представлен следующим образом:

В случае, если система управления является замкнутой (охваченной обратной связью), то передаточная функция определяется как:

, где (2)

W_об.св.(p) – передаточная функция управляющего устройства,

Знак «+» - соответствует отрицательной обратной связи, а «-», наоборот.

Формула (2) получается из следующих соображений:

по определению передаточной функции имеем:

, но

передаточная функция объекта управления:

, а

передаточная функция звена обратной связи:

Как видно из рисунка:

, т.е.

,

разделив числитель и знаменатель на X₂(p) получим:

Переходная функция.

Сигнал h(t), полученный на выходе системы при подаче на её вход единичного скачка u(t), называется переходной функцией системы.

Известно, что изображением единичного скачка является:

и, следовательно,

по определению передаточной функции:

.

Связь между передаточной и переходной функцией находиться из формулы:

при x(t) = u(t) получим:

Отсюда имеем:

, отсюда видно, что

оригинал передаточной функции равен производной от переходной функции.

Реакция системы y(t) на произвольное входное воздействие x(t), выраженное через переходную функцию h(t) имеет вид:

Весовая или импульсная переходная функции системы.

Рассмотрим функцию δ(t), называемую функцией Дирака. В теории управления её называют единичным импульсом. Определим δ(t):

∞, при t = 0

δ(t) =

0, при t ≠ 0

или

В общем случае, как и функция Хевисайда, функция Дирака является математической абстракцией.

Рассмотрим вспомогательную функцию δ(t, μ):

В этом случае функцию δ(t) можно рассматривать как предел функции δ(t,μ) при μ → ∞, т.е.

∞, при t = 0

0, при t ≠ 0

Если воспользоваться формальным равенством, то по определению производной получим:

Исходя из формального равенства и того, что получим:

.

Сигнал, получаемый на выходе линейной системы при подаче на её вход единичного импульса, называется весовой или импульсной переходной функцией. И так как изображение входного сигнала, то по определению передаточной функции:

Y(p) = W(p),

т.е., переходя от изображения к оригиналу:

получаем оригинал передаточной функции.

Частотные и логарифмические характеристики линейных систем.

Частотной характеристикой линейной системы или комплексно - частотной функцией линейной системы называется функция W(jω), получаемая из передаточной функции системы подстановкой p = jω.

Физически эта подстановка означает, что сигнал на входе системы является синусоидальным (гармоническим). Частотную характеристику можно представить в виде:

(1)

Где R(ω) и I(ω) вещественная и мнимая части комплексно-частотной характеристики соответственно.

Формула (1) показывает, что W(jω) является векторной суммой R(ω) и I(ω) в декартовых координатах на комплексной плоскости. В полярных координатах:

(2),

где

Функции W(ω) и Θ(ω) определяют изменение амплитуды и фазы колебаний на выходе по отношению к амплитуде и фазе колебаний на входе и называются АЧХ и ФЧХ соответственно.

Рассматривая W(jω) как вектор и варьируя частоту входного сигнала ω от 0 до ∞, получаем на комплексной плоскости кривую, описываемую концом этого вектора. Эта кривая называется годографом вектора комплексно- частотной функции или амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ).

Заметим, что

Широкое практическое применение нашли частотные характеристики, построенные в логарифмическом масштабе.

Логарифмируя выражение (2) получаем:

Зависимость называется логарифмической амплитудно-частотной характеристикой (ЛАЧХ), а Θ = Θ(lgω) – логарифмической фазо-частотной характеристикой (ЛФЧХ).

ЛАЧХ и ЛФЧХ строятся в логарифмическом масштабе, т.е. по оси абсцисс откладываются логарифмические частоты.

За единицу масштаба принимается декада – это частотный интервал, соответствующий изменению частоты в 10 раз.

По оси ординат при построении ЛФЧХ фаза откладывается в радианах или угловых градусах.

Типовые звенья линейных систем.

Любые сложные системы могут быть представлены как совокупность более простых элементов. Для исследования процессов в реальных системах пользуются идеализированными схемами, которые точно описываются математически и приближенно характеризуют реальные звенья систем в заданном диапазоне частот.

В теории управления вводятся некие типовые звенья, которые характеризуются, в независимости от их конструктивного исполнения, назначения, принципа действия и т.п., только своими передаточными функциями.

Классифицируют эти звенья по виду дифференциальных уравнений, описывающих их работу.

Типы звеньев:

· Описывающиеся линейными алгебраическими уравнениями относительно выходного сигнала:

а) пропорциональные (безынерционные);

б) запаздывающие;

в) дифференцирующие.

· Описывающиеся дифференциальными уравнениями первого порядка с постоянными коэффициентами:

а) инерционно дифференцирующие;

б) инерционные (апериодические, релаксационные);

в) интегрирующие (астатические, нейтральные);

г) интегро – дифференцирующее (упругие).

· Описывающиеся дифференциальными уравнениями второго порядка с постоянными коэффициентами:

а) колебательные;

б) апериодические.

Перечень формул, которые будут использованы для описания характеристик типовых звеньев:

1. Передаточная функция: ,

2. Переходная функция: ,

3. Весовая функция: ,

4. Частотная характеристика: ,

5. АЧХ: ,

6. ФЧХ: ,

7. ЛАЧХ: ,

8. ЛФЧХ: .

Пропорциональное звено.

Выходной сигнал прямо пропорционален входному. Описывается уравнением:

y(t) = kx(t), где

k – коэффициент усиления.

Примеры: резистивный делитель напряжения, рычажная передача и др.

Переходя к изображениям, имеем:

Ø Передаточную функцию:

Ø Переходная функция:

,

Ø Весовая функция:

Ø Частотная характеристика:

Ø АЧХ:

Ø ФЧХ: ,

Ø ЛАЧХ: ,

Ø ЛФЧХ: .

Принятое описание связи между входной и выходной величинами справедливо только для идеального звена и соответствует реальным звеньям лишь при низких частотах ω, меньших ω_верх. При ω > ω_верх в реальных звеньях коэффициент усиления k_ус начинает зависеть от частоты и с её увеличением в ∞ падает до 0.

Запаздывающее звено.

Описывается уравнением:

y(t) = x(t-τ), где

τ – время запаздывания.

Примеры: длинные электрические линии без потерь, тепловые объекты, трубопровод, зубчатые передачи и др.

Переходя к изображениям, имеем:

Ø Передаточная функция:

Ø Переходная функция: ,

Ø Весовая функция:

Ø Частотная характеристика:

Ø АЧХ:

Ø ФЧХ:

Ø ЛАЧХ:

Дифференцирующее звено.

Описывается уравнением:

, где

k – коэффициент усиления.

Примеры: конденсатор и индуктивность .

Переходя к изображениям при нулевых начальных условиях, имеем:

Ø Передаточная функция: ,

Ø Переходная функция: , ,

Ø Весовая функция: ,

Ø Частотная характеристика: ,

Ø АЧХ: ,

Ø ФЧХ: ,

Ø ЛАЧХ: .

Инерционно-дифференциальное звено.

Описывается дифференциальным уравнением первого порядка:

, где

Т – постоянная времени,

k – коэффициент усиления.

При Т→ 0 уравнение переходит к уравнению, описывающему идеальное дифференциальное звено.

Примеры: конденсатор или индуктивность с учетом активного сопротивления цепи.

Переходя к изображениям при нулевых начальных условиях, получим:

Ø Передаточная функция: ,

Ø Переходная функция: ; ,

Ø Весовая функция: ,

Ø Частотная характеристика: ,

Ø АЧХ: ,

Ø ФЧХ: ,

Ø ЛАЧХ: .

вычисляется при частоте

Инерционное звено.

Одно из самых распространенных звеньев. Описывается уравнением:

, где

Т – постоянная времени,

k – коэффициент усиления.

Примеры: электродвигатель, термопара.

Переходя к изображениям при нулевых начальных условиях, имеем:

Ø Передаточная функция: ,

Ø Переходная функция: , ,

Ø Весовая функция: ,

Ø Частотная характеристика: ,

Ø АЧХ: ,

Ø ФЧХ: ,

Ø ЛАЧХ: .

Интегрирующее звено.

Описывается уравнением:

или , где

k – коэффициент пропорциональности.

Примеры: вращающийся вал, если входной величиной считать скорость вращения, а выходной – угол поворота вала.

Переходя к изображениям при нулевых начальных условиях, имеем:

Ø Передаточная функция: ,

Ø Переходная функция: , ,

Ø Весовая функция: ,

Ø Частотная характеристика: ,

Ø АЧХ: ,

Ø ФЧХ: ,

Ø ЛАЧХ: .

Интегро-дифференцирующее звено.

Описывается дифференциальным уравнением первого порядка:

, где

Т₁, Т₂ – постоянные времени,

k – коэффициент усиления.

В зависимости от звено будет обладать различными свойствами. Если τ < 1, то звено по свойствам будет приближаться к интегрирующему и инерционному звеньям, если τ > 1, то звено ближе к дифференцирующему и инерционно-дифференциальному звеньям.

Переходя к изображениям при нулевых начальных условиях, имеем:

Ø Передаточная функция: