Свойства напряжений внутренних сил

Классификация сил, действующих в жидкости.

В жидкости, в отличие от твердого тела, рассматривается только действие распределенных сил. Это связано с тем, что приложение сосредоточенных сил к жидкости вызывает разрыв последней.

По способу приложения все силы в гидромеханике делят на две группы: массовые (объемные) и поверхностные.

Массовыми или объемными силами называют такие силы, которые приложены к каждой частице жидкости и пропорциональны ее массе. К массовым силам относятся силы тяжести, силы инерции, электромагнитные силы.

Так как величина массовых сил пропорциональна массе жидкости, к которой они приложены, то для получения характеристики, не зависящей от массы жидкости, вводится понятие вектора напряжения массовых сил , который равен отношению силы к массе жидкости, при условии, что объем DV стягивается в точку

. (1.1)

Напряжения массовых сил имеют размерность ускорения (м/с²).

Вычислим напряжение силы тяжести. На объем жидкости массой Dm действует сила тяжести DG=gDm в отрицательном направлении вертикальной оси z (рис.1). Тогда вектор напряжения этой силы будет иметь только составляющую F_z, равную

,

где знак «минус» показывает, что сила направлена в сторону, противоположную направлению оси z.

Поверхностными силами называются такие силы, которые непрерывно распределены по поверхности. В общем случае поверхностная сила DP ориентирована произвольным образом к поверхности (рис.2) и дает две составляющие – нормальную DP_n и касательную DP_t. В качестве примеров можно привести силу атмосферного давления на свободной поверхности жидкости (DP_n) и силу трения, возникающую из-за влияния вязкости при движении жидкости (DP_t).

Вводится вектор напряжения поверхностных сил, который равен пределу отношения силы к площади поверхности, на которую эта сила действует

. (1.2)

Напряжения поверхностных сил имеют размерность давления (Н/м²).

В общем случае не является обычным вектором. Его величина в данной точке зависит от ориентации площадки DS, на которую он действует. То есть, если в одной точке жидкости провести одинаковые по величине, но различно ориентированные площадки, то действующие на них векторы напряжения поверхностных сил будут разными. Поэтому зависит от координат точки пространства, ориентации площадки (характеризуется нормалью ), и, в общем случае, от времени. Такая величина называется тензорной, и в дальнейшем будем ее обозначают не просто , а , где индекс n обозначает ориентацию площадки (направление ее нормали), на которой действует данная величина.

Одной из важнейших задач гидромеханики является определение гидродинамических реакций, действующих со стороны жидкости на тело. На поверхности твердого тела S, соприкасающейся с жидкостью, со стороны жидкости действуют поверхностные напряжения . Зная их величину, можно найти элементарную силу , действующую со стороны жидкости на площадку тела dS:

, (1.3,а)

а также элементарный момент относительно начала координат

, (1.3,б)

где - радиус-вектор центра площадки.

Интегрируя и по поверхности тела S, можно получить общие формулы для результирующей и момента гидродинамических сил, действующих на тело

, (1.4)

. (1.5)

Для исследования напряжений внутренних сил в жидкости установим связь между напряжениями, действующими на произвольно ориентированную площадку и три взаимно перпендикулярные площадки, проходящие черезо одну точку. Для этого мысленно выделим в движу-щейся жидкости элементарную (ма-лую) жидкую ча-стицу в форме тетраэдра объемом DV (рис.3).

На гранях тетраэдра изобра-жены не поверх-ностные силы, а напряжения этих сил, направленные произвольным образом к соответствующим граням. Индекс у вектора напряжения характеризует ориентировку площадки, т.е. нормаль. За положительное направление нормали принимается внешнее по отношению к выделенному жидкому объему. Ускорение центра тяжести частицы обозначим ; напряжение массовых сил - .

Уравнение движения этой элементарной частицы в векторной форме основано на втором законе Ньютона: произведение массы тела на его ускорение равно сумме всех действующих на него сил

,

или, с учетом напряжений массовых сил и напряжений поверхностных сил, действующих на грани тетраэдра со стороны отброшенной внешней жидкости

, (1.6)

где DS_x, DS_y и DS_z – площади граней тетраэдра, перпендикулярных соответствующим осям координат; , , , - векторы напряжений в центре площадок, обозначения которых соответствуют направлению нормалей к ним; знаки «минус» перед последними тремя слагаемыми означают, что нормали к соответствующим площадкам направлены противоположно осям координат.

Из аналитической геометрии известно, что

(1.7)

Разделим обе части уравнения (1.6) на DS_n и используем (1.7)

(1.8)

Для получения связи между напряжениями в точке, устремим объем тетраэдра к нулю, стягивая его в точку к началу координат. При этом , а следовательно, связь между напряжениями запишется в виде

. (1.9)

Проектируя это векторное уравнение на оси координат, получим

;

; (1.10)

,

где первый индекс при проекциях напряжений соответствует ориентации площадки, на которой действует напряжение, а второй – оси, на которую оно проектируется.

При этом скалярные величины p_xx, p_yy, p_zz представляют собой нормальные напряжения, а p_xy, p_xz,... – касательные напряжения, действующие в соответствующих площадках.

Касательные напряжения в дальнейшем будем обозначать буквой t (t_xy, t_yz, t_xz) – как показано на рис.4. На этом рисунке изображены нормальные и касательные напряжения, действующие на три взаимно перпендикулярные грани параллелепипеда, выделенного в жидкости.

Применяя теорему моментов относительно начала координат для изображенных напряжений, нетрудно доказать свойство взаимности касательных напряжений, состоящее в том, что

; ; . (1.11)

Кроме свойства взаимности, существуют и другие свойства напряжений в жидкости. Касательные напряжения t возникают только при движении реальной вязкой жидкости. При движении невязкой жидкости они равны нулю. В покоящейся жидкости касательные напряжения также равны нулю, так как жидкости не обладают свойством трения покоя.

Отметим два свойства нормальных напряжений. Первое свойство: при отсутствии касательных напряжений, т.е. когда , нормальные напряжения не зависят от ориентации площадки

. (1.12)

Зависимость (1.12) выполняется при покое вязкой жидкости, а также при движении и покое невязкой жидкости.

Второе свойство: При отсутствии касательных напряжений в жидкости могут проявляться только сжимающие (отрицательные) усилия, которые называются давлениями.

Давлением в жидкости при отсутствии касательных напряжений называют величину нормальных напряжений, взятую с обратным знаком:

, (1.13)

откуда следует, что величина давления не зависит от ориентации площадки.

Дата добавления: 2014-01-05