Сила, действующая на цилиндрическую стенку. Закон Архимеда

При расчете силы, действующей на криволинейную стенку, ограничимся рассмотрением цилиндрической поверхности.

Рис. 9

Рассмотрим участок цилиндрической поверхности abcd (рис.9), расположенной под свободной поверхностью жидкости. Действующую на него силу избыточного гидростатического давления можно определить из условия равновесия объема жидкости abcdaefghe, ограниченного снизу рассматриваемой поверхностью, с боков – вертикальными плоскостями, проектирующими рассматриваемый участок на свободную поверхность, сверху – участком свободной поверхности жидкости. На выделенный объем жидкости действуют силы гидростатического давления со стороны остальной жидкости, реакция рассматриваемого участка цилиндрической поверхности и вес самой жидкости в этом объеме. Давление, действующее на свободную поверхность жидкости, здесь не учитывается, так как в нашу задачу входит определение силы только избыточного давления.

Силы давления, действующие на боковые площадки aehda и bfgcb, а также aefba и ihgji, попарно взаимно уравновешиваются как направленные внутрь выделенного объема и действующие на одинаковые плоские поверхности, расположенные на одинаковой глубине. Учитывая это, в уравнение равновесия рассматриваемого объема () войдут реакция цилиндрической стенки R’, сила избыточного давления, действующая на площадку ijcdi, и вес жидкости G в рассматриваемом объеме.

Уравнение равновесия в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси координат можно записать в виде

. (2.11)

Здесь R’_x и R’_y – горизонтальная и вертикальная составляющие силы давления, с которой участок abcda действует на жидкий объем (реакция стенки). Согласно формуле (2.6), сила, действующая на участок ijcdi равна , где S_z – площадь проекции рассматриваемой цилиндрической поверхности на вертикальную плоскость (S_z=S_ijcdi), а h_Cz – заглубление центра тяжести этой проекции. Вес жидкости в выделенном объеме G=rgV, где V – объем тела abcdaefghe, называемый объемом тела давления.

С учетом всего вышеизложенного, система (2.11) примет вид

.

Интересующая нас сила избыточного давления жидкости на цилиндрическую поверхность равна по величине и противоположна по направлению силе, с которой стенка давит на жидкость (реакции стенки), т. е.

, .

С учетом этого можно записать выражения для горизонтальной R_x и вертикальной R_y составляющих силы избыточного гидростатического давления

, . (2.12)

Возможен вариант расположения поверхности, отличающийся от изобра-женного на рис.9. Если смоченная водой поверх-ность обращена вниз, как показано на рис.10, то зависимости (2.12) также справедливы, но объем тела давления в этом случае будет ограничен сверху уже не свободной поверхностью, а ее продолжением. При этом вертикальная составляющая R_z будет направлена вверх (объем тела давления считается отрицательным). Возможны и более сложные варианты поверхностей, у которых на разных участках могут быть разные по знаку тела давления.

Полученные в этом разделе выводы и зависимости (2.12) для цилиндрических поверхностей справедливы для поверхностей любой произвольной формы, в том числе для судовых поверхностей.

С помощью понятия о теле давления можно получить закон Архимеда. Пусть в жидкости с плотностью r (рис.11) находится тело произвольной формы abcdafcea, у которого максимальное сечение afcea проектируется на свободную поверхность в виде контура gh.

На верхнюю часть этого тела действует верти-кальная сила избыточного давления, направленная вниз и равная весу жидкости в объеме тела давления afceabchga, то есть R_нижн=rgV_afceabchga.

На нижнюю часть погруженного тела дейст-вует вертикальная сила избыточного гидростати-ческого давления, которая характеризуется телом давления afceadchga и направлена вверх:

R_верхн=-rgV_afceadchga.

Результирующая вертикальная сила, действующая на тело

Отсюда следует формулировка закона Архимеда: результирующая сила гидростатического давления, действующая на погруженное в жидкость тело (сила Архимеда), направлена вертикально вверх и равна весу жидкости в объеме тела: .

Очевидно, что горизонтальная составляющая силы давления, действующей на плавающее тело, в соответствии с формулой для R_x (2.12) равна нулю.

ГЛАВА III

Кинематика жидкости

Дата добавления: 2014-01-05