Уравнение Бернулли для потока вязкой жидкости

Для решения задач о напорном течении вязкой жидкости в трубах, необходимо получить соотношение, связывающее средние скорости потока с давлениями.

Для получения такого соотношения рассмотрим поток вязкой жидкости в трубе переменного сечения (рис.42). Считая движение жидкости установившимся, запишем уравнение Бернулли (4.11) применительно к одной элементарной жидкой струйке для сечений 1-1 и 2-2 в предположении, что жидкость невязкая. Тогда

. (5.6)

Это уравнение выражает закон сохранения удельной механической энергии вдоль элементарной жидкой струйки. Так как в действительности жидкость вязкая, то по мере движения частицы вдоль линии тока от сечения 1-1 до сечения 2-2 часть ее энергии истратится на преодоление различных сопротивлений, которые обусловлены наличием в вязкой жидкости касательных напряжений. Следовательно, в вязкой жидкости равенство (5.6) следует заменить неравенством, в котором правая часть меньше левой из-за уменьшения энергии за счет преодоления вязкости на пути от сечения 1-1 к сечению 2-2

.

Но в соответствии с этим неравенством можно записать, что

, (5.7)

где h’ называется потерей напора и характеризует энергию, израсходованную частицей при ее движении на преодоление сил вязкой природы. Эта «потерянная» энергия целиком переходит в тепло и необратимо рассеивается.

Таким образом, для удельных энергий можно записать

, (5.8)

Для того чтобы получить уравнение Бернулли для всего потока в трубе, необходимо учесть следующее.

1) Скорость V₁ в живом сечении S₁ и скорость V₂ в живом сечении S₂ переменна, и законы распределения скоростей в этих сечениях могут быть различны.

2) Поскольку в рассматриваемых сечениях течение плавно изменяющееся, давление в них распределено по гидростатическому закону

. (5.9)

Вычислим, воспользовавшись соотношением (5.7), разность потоков энергии, переносимой жидкостью через первое и второе сечения. Для вычисления элементарного потока энергии необходимо удельную энергию элементарной жидкой струйки умножить на весовой расход жидкости через площадь сечения жидкой струйки dS. Элементарный весовой расход равен .

Разность полной энергии, переносимой жидкостью через первое и второе сечения получим интегрированием по соответствующим сечениям. Для определения полной потери энергии интегрируем во втором сечении элементарные потери вдоль жидкой струйки на пути от первого сечения до второго

Учитывая, что , а также то, что в данных сечениях справедливо соотношение (5.9), соответствующие суммы можно вынести за знак интеграла

(5.10)

Интегралы вида , характеризующие поток кинетической энергии жидкости в данном сечении, выразим через среднюю скорость, введя для этого коэффициент

, (5.11)

учитывающий влияние неравномерности распределения скорости по сечению на величину кинетической энергии, вычисленной по средней скорости потока.

Для ламинарного потока в круглой трубе a_л =2, при турбулентном течении a_т @1.1. Меньшее значение коэффициента a при турбулентном течении обусловлено более равномерным распределением скорости по сечению потока, когда действительные скорости меньше отличаются от средней. Часто в практических расчетах a_т принимают равным единице.

Интеграл в правой части можно представить, пользуясь теоремой о среднем, в виде

, (5.12)

где величина h представляет полную удельную потерю напора на единицу веса жидкости и включает в себя все потери энергии потока на пути от одного выбранного сечения до другого.

Подставляя в (5.10) соотношения (5.11) и (5.12), а также учитывая условие неразрывности вдоль потока Q₁=Q₂ или V_1срS₁=V_2срS₂, и сокращая Q в левой и правой частях уравнения и разделив обе части на rg, получим

, (5.13)

или , (5.14)

где значения p и z берутся в одной и той же точке живого сечения потока.

Соотношение (5.14) называется уравнением Бернулли для потока вязкой жидкости. Его применение возможно только для сечений, где движение можно рассматривать как плавно изменяющееся, хотя между этими сечениями движение жидкости может быть и не плавно изменяющимся.

Дата добавления: 2014-01-05