Теорема: о чужих алгебраических дополнениях

Теорема.

Определитель произведения матриц равен произведению их определителей.

Доказательство:

Пусть даны квадратные матрицы Aи B:

так как все миноры порядка n, располагающиеся в первых nстроках, будут равны 0 за исключением миноров в первых nстолбцах. Преобразуем матрицу |C|, чтобы в верхнем левом углу получить нулевую матрицу. Для того, чтобы вместо элемента получить 0, мы к первой строке матрицы прибавим строку, умноженную на. Чтобы получить 0 вместо, мы к первой строке прибавляем строку, умноженную на и так далее. Выясним, что мы получили при этих преобразованиях в правом верхнем углу матрицы С. Вычтем элемент, находящийся в первой строке столбце. В этой позиции мы получим следующую сумму:. Легко заметит, что данная сумма являет собой произведение 1 строки матрицы А на первый столбец матрицы В.

Аналогично для любого элемента в правом верхнем углу матриц можно будет показать, что являет собою произведение строки матрицы А на столбец матрицы В. Таким образом, в правом верхнем углу у нас будут располагаться произведения матриц А и В. Эту новую матрицу назовем.

При этом матрица равна матрице.

Преобразуем матрицу следующим образом: перепишем последние nстолбцов на первые nмест. В итоге получим:

Тема: обратная матрица

Рассмотрим уравнение, где - квадратные матрицы одинакового размера, причем - неизвестная матрица.

Для того, чтобы решить данное уравнение, необходимо правую и левую части равенства умножить слева на, то есть на обратную матрицу (такую что.

Сумма всевозможных произведений элементов некоторой строки матрицы на алгебраические дополнения, соответствующие элементам другой строки матрицы, равна 0.

Доказательство:

Пусть дана квадратная матрица:

Рассмотрим -тую строку данной матрицы и умножим каждый элемент этой строки на алгебраические дополнения для соответствующих элементов строки и найдем сумму этих произведений.

Для этого рассмотрим вспомогательную матрицу B, которую получим заменой -той строки на -тую.

Разложим матрицу Bпо -той строке:

Но с другой стороны, определитель равен 0, так как имеет 2 одинаковые строки, и таким образом,.

Алгоритм нахождения обратной матрицы

Пусть дана квадратная матрица А.

1. Ищем определитель А. Если он равен 0, то обратной матрицы не существует. Если определитель равен 0, то получаем, что, что невозможно. Если же определитель не равен 0, переходим к шагу 2.

2. На этом шаге ищем алгебраические дополнения для каждого элемента матрицы А.

3. Составим матрицу из алгебраических дополнений, полученных на предыдущем шаге, причем алгебраическое дополнение записываем в -той строке и -том столбце.

4. Транспонируем матрицу.

Докажем данный алгоритм.

Пусть дана квадратная матрица:

В соответствии с приведенным алгоритмом:

Найдем элемент, стоящий в первой строке и первом столбце произведения матриц Aи A^-1. Обозначим этот элемент через.

- по теореме Лапласа.

Аналогично рассматривая другие элементы, находящиеся на главной диагонали произведения, мы снова будем получать 1.

Рассмотрим элемент.

- по теореме о чужих алгебраических дополнениях.

Аналогично рассматривая остальные элементы матрицы, мы увидим, что они также будут равны 0.

Случай рассматривается аналогично.

Пример:

1.

2.

3.

Существует еще один способ нахождения обратной матрицы, называемый методом Жордано-Гаусса.

Данный метод заключается в следующем: составляется матрица следующего вида: первые nстрок и nстолбцов в ней занимает матрица А, к которой мы хотим найти обратную. Далее справа к ней достраивается единичная матрица размера. Далее над строками этой матрицы проводятся преобразования таким образом, чтобы в левой части матрицы вместо А получить единичную матрицу. При этом матрица, которую мы получим в правой части, и будет являться матрицей, обратной матрицы А.

При этом над строками матрицы мы можем осуществлять следующие операции: умножать на любое действительное число, отличное от 0, прибавлять к любой строке матрицы любую другую ее строку, умноженную на некоторое действительное число и менять ее строки местами.

Тема: системы линейных уравнений

Определение.

Системой линейных уравнений из уравнений и неизвестных будем называть набор из выражений, записываемый следующим образом:

где и - действительные числа, - некоторые неизвестные. Решением данной системы линейных уравнений будем называть упорядоченный набор, которые при подстановке вместо неизвестных обращают каждое из выражений в тождество. Систему будем называть совместной, если она имеет решение и несовместной в противном случае. Если решение единственное, то она называется определенной и неопределенной в противном случае.

Любую систему линейных уравнений можно представить в матричном виде. Для этого рассмотрим матрицу:

В таком случае систему линейных уравнений можно записать в следующем виде:. Рассмотрим теперь систему линейных уравнений, в которой число переменных равно числу неизвестных. Очевидно, что матрица будет квадратной.

Решим в этом случае матричное уравнение. Решением будет:. Очевидно, что этот метод применим лишь в том случае, когда. Такой метод решения называется методом обратной матрицы.

Метод Крамера решения систем линейных уравнений

Рассмотрим выражение для, полученное ранее:. Распишем, чему будет равен:

В соответствии с теоремой Лапласа можно сказать, что в числителе полученного выражения находится значение определителя A, в котором первый столбец заменен на столбец свободных членов, в таком случае, где - определитель матрицы, полученной из матрицы путем замены первого столбца на столбец свободных членов, а - определитель матрицы. Аналогично рассуждая для остальных неизвестных, получим формулы:,.

Эти формулы называются формулами Крамера.

Пример:

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

Определение.

Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений будем называть:

1. Умножение уравнения системы на любое действительное число, отличное от 0;

2. Перестановка местами двух уравнений;

3. Прибавление к некоторому уравнению системы любого другого уравнения, умноженного на некоторое действительное число;

4. Вычеркивание из системы уравнений вида.

Теорема:

Системы уравнений, полученные в результате элементарных преобразований, эквивалентны исходным.

Докажем теорему для третьего преобразования:

Прибавим к -тому уравнению -тое уравнение, умноженное на.

Остальные уравнения в системе не отличаются от исходных.

Пусть набор чисел является решением исходной системы. Подставим этот набор значений в преобразованную систему уравнений. Все уравнения, кроме -того, обратятся в тождество, так как они не отличаются от исходной системы. Рассмотрим подробнее -тое уравнение:. Раскрывая скобки в левой части, легко показать, что рассматриваемое равенство является верным тождеством. Отсюда следует, что набор чисел является решением преобразованной системы. Аналогично доказывается, что любое решение преобразованной системы является решением исходной.

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений заключается в следующем:

1. Предположим, что коэффициент. Если он равен 0, то перенумеруем переменные таким образом, чтобы он оказался не равным 0.

2. Избавляемся во всех уравнениях, кроме первого, от переменной.

3. В полученной системе добиваемся того, чтобы.

4. Во всех уравнениях, кроме первого и второго, избавляемся от переменной.

В результате данного процесса мы получим систему следующего вида:

Возможны 2 случая:

1. и последнее уравнение в системе имеет вид. В этом случае из последнего уравнения находим значение, затем подставляем это значение в предпоследнее уравнение и находим и так далее. Далее поступаем аналогично.

2.. В этом случае переменные объявляются свободными и остальные переменные выражаются через них. Это называется общим решением линейных уравнений.

Свободные переменные могут принимать любые действительные значения, и если вместо них взять некоторые действительные числа, то получится частное решение системы уравнений.

Пример:

Решить систему уравнений методом Гаусса.

1. Выписываем расширенную матрицу системы, которая состоит из коэффициентов и неизвестных и свободных членов.

Линейные пространства

Определение.

Множество, на котором введены 2 закона композиции (внутренний и внешний), обозначаемые соответственно и, называется линейным пространством, если выполняются следующие аксиомы:

1. - коммутативность.

2. - ассоциативность.

3. - - называется нулевым.

4. - противоположное.

5.

6.

7.

8.

Любой элемент линейного пространства называется вектором, и сами линейные пространства называются векторными.

Пример:

Пространства являются линейными.

Рассмотрим множество матриц размерности. Оно является линейным пространством относительно стандартных операций сложения и умножения на действительное число.

Линейно зависимые и независимые системы векторов

Пусть даны, - линейное пространство. Выражение, а число называется коэффициентом линейной комбинации. Если вектор можно представить в виде, то имеется разложение вектора по векторам с коэффициентами разложения или можно сказать, что вектор представляет собой линейную комбинацию векторов.

Определение.

Система векторов называется линейно зависимой, если существуют неравные одновременно о коэффициентов, такие что. Если же равенство (*) для данной системы векторов (*) возможно лишь в случае, когда все коэффициенты, то система векторов называется линейно независимой.

Пример:

Рассмотрим векторное пространство.

Два некоторых вектора в пространстве всегда образуют линейно независимую систему. Любые три вектора в системе образуют линейно зависимую систему.

Теорема.

Система из одного вектора линейно зависима тогда и только тогда, когда этот вектор равен нулю.

Свойства линейных пространств:

1. Нулевой элемент в линейном пространстве единственный.

Доказательство:

Предположим, что существует два неравных друг другу элементов.

.

2. Противоположный элемент единственный.

3..

4..

Доказательство:

Рассмотрим произвольное.

1-е равенство:

2-е равенство:

4. Если, то.

5..

6..

Доказательство теоремы:

Пусть - данный вектор,.

1.. Рассмотрим - линейно зависимая система.

Пусть - образует линейно зависимую систему, то есть.

Теорема.

Система векторов зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов этой системы линейно выражается через остальные.

Доказательство:

1 часть.

Пусть система векторов - линейно зависима, тогда по определению линейной зависимости должны существовать действительные числа и такие что. Предположим, что коэффициент,,.Тогда, очевидно, получается следующее выражение:.

2 часть.

Пусть один из векторов системы линейно выражается через остальные. Тогда можно записать:. В последнем равенстве все из правой части перенесем в левую:. В полученном выражении коэффициент при равен 1, то есть не равен 0, и таким образом с последнего равенства в соответствии с определением линейной зависимости следует, что эта система векторов линейно зависима.

Теорема.

Любая система векторов, содержащая линейно зависимую подсистему, сама линейно зависима.

Доказательство:

Рассмотрим систему векторов и ее подсистема (она линейно зависима). Покажем, что и линейно зависима.

В соответствии с определением линейной зависимости, что, и среди них есть отличные от нуля.

Очевидно, что если взять коэффициенты, то верно будет следующее равенство:. Среди коэффициентов в последнем равенстве будет существовать хотя бы один отличный от нуля, следовательно, линейно зависима.

Теорема.

Любая подсистема линейно независимой системы линейно независима.

Теорема.

Разложение вектора по векторам системы единственно, когда система векторов линейно независима.

Доказательство:

1. Пусть система векторов линейно независима. Предположим противное: пусть для существует два различных разложения по векторам этой системы, то есть, причем в этих разложениях существуют неравные между собой коэффициенты. Вычтем из первого равенства второе:. Среди коэффициентов перед векторами в полученном выражении будут существовать отличные от нуля, но это противоречит тому, что система линейно независима. Следовательно, сделанное предположение неверно и любой вектор имеет единственное разложение по векторам системы.

2. Пусть и раскладываются по векторам единственным образом. Предположим противное: - линейно зависима. Выполним разложение по векторам системы:. Так как по предположению рассматриваемая система линейно зависима, то нулевой вектор -, причем среди коэффициентов будут иметься отличные от нуля. Сложим 2 последних равенства.. Таким образом получили некоторое новое разложение для, отличное от исходного, а это противоречит условию. Следовательно, сделанное предположение неверно и система линейно независима.

Определение.

Система векторов называется максимально линейно независимой, если она линейно независима и добавление к ней любого другого вектора превращает ее в линейно зависимую систему.

Пример:

В пространстве максимальной линейно независимой системой является система из двух неколлинеарных векторов.

Определение.

-мерным арифметическим пространством называется множество упорядоченных последовательностей длины, состоящих из действительных чисел, для которых определены операции сложения и умножения на действительное число, следующим образом:

1.

2.

Обозначение:.

Легко заметить, что все аксиомы линейного пространства выполняются для, то есть оно образует линейное пространство.

Рассмотрим пространство и в нем:

Проверим, что эти вектора образуют линейно независимую систему. Запишем следующие уравнения:

система линейно независима.

Рассмотрим.

линейно выражается через система векторов линейно зависима.

Таким образом, - максимально линейно зависимая система. В случае произвольного максимально линейно независимые системы будут образовывать следующие вектора:

Определение.

Базисом линейного пространства будем называть упорядоченную максимальную линейно независимую систему его векторов.

Определение.

Размерностью линейного пространства называется число векторов в его базисе.

Переход от одного базиса к другому

Определение.

Координатами вектора в базисе будем называть коэффициенты его линейного разложения по векторам этого базиса.

Из доказанного ранее очевидно, что координаты вектора в базисе единственны.

Пусть в линейном пространстве даны два базиса: и и пусть дан некоторый вектор.

Необходимо найти формулу, связывающую координаты вектора в базисе и в базисе.

Дата добавления: 2014-01-05