Интерпретация результатов математического моделирования процессов

До сих пор мы употребляли абстрактный математический язык. Перевод результатов математического моделирования на язык экспериментатора называется интерпретацией результатов.

Интерпретация – сложный процесс, который проводится в несколько этапов и включает в себя оценку величины и направления влияния отдельных факторов и их взаимодействий на параметр оптимизации, сопоставление влияния совокупности факторов, проверку правильности априорных представлений и, в некоторых случаях, проверку и выдвижение гипотез о механизме процесса.

Интерпретацию обычно проводят по результатам планированного (активного) эксперимента. В обычных уравнениях регрессии (в натуральном виде) значения одного коэффициента нельзя сопоставить со значением другого. Факторы, а соответственно и коэффициенты уравнения (b_i) – величины размерные и нельзя сказать, что, например, больше 1м или 1кг. В планированном эксперименте факторы приведены к безразмерному кодированному виду, в котором каждый из них варьируется в одинаковых пределах от -1 до +1, что дает возможность их сопоставлять.

Задача интерпретации весьма сложна. Ее решают в несколько этапов.

Первый этап состоит в следующем: устанавливается, в какой мере каждый из факторов влияет на параметр оптимизации. Величина коэффициента регрессии - количественная мера этого влияния. Чем больше коэффициент (В_i), тем сильнее влияет этот фактор на параметр оптимизации.

О характере влияния факторов говорят знаки коэффициентов. Знак «+» свидетельствует о том, что с увеличением значения фактора растет значение параметра оптимизации, а при знаке «-» наоборот - убывает. Интерпретация знаков при оптимизации зависит от того, что надо найти, максимум или минимум функции отклика. Так, если у ®max, то увеличение значений факторов, коэффициенты которых имеют знак «+», благоприятно, а знак «-», неблагоприятно, если у®min, то все наоборот, благоприятно увеличение значений тех факторов, знаки коэффициентов которых отрицательны.

Далее выясняется, как расположить совокупность факторов в ряд по силе их влияния на параметр оптимизации.

Факторы, коэффициенты которых не значимы, конечно не интерпретируются. О них можно сказать, что при данных интервалах варьирования и ошибке воспроизводимости они не оказывают существенного влияния на параметр оптимизации.

Второй этап - выясняют, соответствуют ли полученные данные априорной информации.

На основе априорных сведений обычно имеются некоторые представления о характере действия факторов. Если, например, с ростом температуры должно происходить увеличение параметра оптимизации (У), а коэффициент регрессии имеет знак «-», то возникает противоречие. Здесь возможны две причины возникновения такой ситуации: либо в эксперименте допущена ошибка и он должен быть проверен, либо не верны априорные представления. При этом следует иметь в виду, что эксперимент проводится в локальной области факторного пространства и коэффициент (b_i) отражает влияние факторов только в этой области. Заранее неизвестно в какой мере можно распространить результат на другие области. Теоретические же представления имеют обычно более общий характер. Кроме того, априорная информация часто основывается на однофакторных зависимостях, а при переходе к многофакторному пространству ситуация может измениться. Поэтому мы должны быть уверенными, что эксперимент проведен корректно. Тогда для преодоления противоречия можно выдвигать различные гипотезы и проверять их экспериментально.

Третий этап - проверка гипотез о механизме действия факторов.

Получение информации о механизме действия факторов не является обязательной в задачах математического моделирования, но возможность такого рода следует использовать. Здесь особое внимание следует уделять эффектам взаимодействия факторов.

Если в уравнении регрессии: У = В₀ + В₁Х₁ + В₂Х₂ + В₁₂Х₁Х₂

знаки при В₁, В₂ и В₁₂ одинаковы, то можно сказать, что фактор Х₁ влияет тем сильнее, чем больше Х₂. В этом случае говорят о синергизме влияния факторов Х₁ и Х₂, т.е. каждый из них при совместном воздействии влияет сильнее, чем при раздельном.

Если знаки при В₁ и В₂ одинаковы, а при В₁₂ – противоположный, то говорят, что влияние Х₁ ослабевает с ростом Х₂, т.е. каждый фактор в отдельности влияет сильнее, чем при одновременном воздействии.

Но не всегда знаки коэффициентов линейных факторов совпадают, могут иметь место следующие варианты:

У = В₀ + В₁Х₁ - В₂Х₂ + В₁₂Х₁Х₂, (а)

У = В₀ + В₁Х₁ – В₂Х₂ – В₁₂Х₁Х₂. (б)

В этих случаях, нельзя однозначно сказать об усилении или ослаблении воздействия факторов. Можно лишь предположить, что в случае (а) при взаимном влиянии на процесс, фактор Х₁ оказывает большее влияние, чем Х₂, т.к. знаки при В₁ и В₁₂ совпадают. В случае (б) наоборот, при взаимном влиянии, большее воздействие на процесс оказывает Х₂, т.к знаки при В₂ и В₁₂ совпадают.

Рассмотрим простейшие примеры интерпретации эффектов взаимодействия.

Пример 1. Влияние двух лекарственных препаратов против гриппа изучалось на животных. На основании экспериментальных данных была получена следующая математическая модель процесса:

У = 6.4 – 2.1Х₁ -1.7Х₂ + 4.2 Х₁Х₂,

где ₁,Х Х₂ – дозы лекарственных препаратов;

У – время выздоровления.

По виду уравнения можно сказать, что наибольший эффект оказывает первый препарат, а при совместном применении препараты ослабляют действие друг друга, т.е., это приводит к увеличению времени выздоровления. Лекарства плохо совместимы и их одновременное применение нецелесообразно. Эксперимент показал, что использование только первого лекарства привело к выздоровлению за 1,9 дней, второго - за 2,5 дней, одновременно первого и второго - за 6,7 дней.

Пример 2. Изучалось влияние трех факторов на выход сульфадимезина. Предполагалось, что уксусная кислота (Х₃) является лишь растворителем и в химической реакции не участвует.

В результате обработки экспериментальных данных была получена математическая модель процесса:

У = 85.9 + 2.5Х₁ + 0.56Х₂ + 1.12Х₃ – 0.58Х₁Х₃ – 0.92Х₂Х₃, из которой видно, что значимым оказался не только коэффициент В₃, но и В₁₃ и В₂₃. Этот факт говорит о том, что уксусная кислота активно участвует в химической реакции, что требует пересмотра существующего мнения о механизме реакции.

Знаки эффекта взаимодействия показывают экспериментатору, что предпринять для увеличения или снижения значения (У). Так, если эффект взаимодействия имеет положительный знак, то для увеличения параметра оптимизации требуется одновременное увеличение или уменьшение значения факторов. Для уменьшения значений параметра оптимизации факторы должны одновременно изменяться в разных направлениях.

Если эффект взаимодействия имеет отрицательный знак, то для увеличения (У) факторы должны одновременно изменяться в разных направлениях. (Х₁=+1, Х₂=-1; Х₁=-1, Х₂=+1)

Для уменьшения (У) требуется одновременное увеличение или уменьшения факторов (Х₁=1, Х₂=1; Х₁=-1, Х₂=-1).

Как видно из примеров, интерпретация эффектов взаимодействия не так однозначна, как линейных эффектов. В каждом случае имеется два варианта.

Какому отдать предпочтение?

Прежде всего, нужно учесть знаки линейных эффектов соответствующих факторов. Если эффект взаимодействия имеет знак «+» и соответствующие линейные эффекты отрицательны, то выбор однозначен: необходимо сочетание Х₁=-1, Х₂=-1. Однако возможен случай, когда знаки линейных эффектов различны. Тогда приходится учитывать численные значения коэффициентов и жертвовать самым маленьким эффектом. Иногда приходится учитывать технологические соображения. Например, эксперимент в одной области факторного пространства дороже или труднее воспроизводим, чем в другой.

Дата добавления: 2014-01-05