Решение неравенств с одной переменной

Равносильные неравенства. Теоремы о равносильности неравенств

В основе решения неравенств с одной переменной лежит понятие равносильности.

Определение. Два неравенства называются равносильными, если их множества решений равны.

Например, неравенства 2 x + 7 > 10 и 2 x > 3 равносильны, так как их множества решений равны и представляют собой промежуток (2/3, ∞).

Теоремы о равносильности неравенств и следствия из них аналогич­ны соответствующим теоремам о равносильности уравнений. При их доказательстве используются свойства истинных числовых неравенств.

Теорема 3. Пусть неравенство f(х) > g(х) задано на множестве X и h (x) - выражение, определенное на том же множестве. Тогда неравенства f(х) > g(х) и f(х)+ h(x) > g(х) + h(x) равносильны на множестве X.

Из этой теоремы вытекают следствия, которые часто используются при решении неравенств:

1) Если к обеим частям неравенства f(х) > g(х) прибавить одно и то же число d, то получим неравенство f(х) + d > g(х)+ d, равно­сильное исходному.

2) Если какое-либо слагаемое (числовое выражение или выражение с переменной) перенести из одной части неравенства в другую, поме­няв знак слагаемого на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.

Теорема 4. Пусть неравенство f(х) > g(х) задано на множестве X и h (х) - выражение, определенное на том же множестве, и для всех х из множества X выражение h(х) принимает положительные значения. Тогда неравенства f(х) > g(х) и f(х)· h(x) > g(х) · h(x) равносильны на множестве X.

Из этой теоремы вытекает следствие: если обе части неравенства f(х) > g(х) умножить на одно и то же положительное число d, то по­лучим неравенство f(х)·d > g(х) ·d, равносильное данному.

Теорема 5. Пусть неравенство f(х) > g(х) задано на множестве X и h (х) - выражение, определенное на том же множестве, и для всех х их множества X выражение h (х) принимает отрицательные значения. Тогда неравенства f(х) > g(х) и f(х)· h(x) > g(х)· h(x) равносильны на множестве X.

Из этой теоремы вытекает следствие: если обе части неравенства f(х) > g(х) умножить на одно и то же отрицательное число d и знак неравенства поменять на противоположный, то получим неравенство f(х)·d > g(х) ·d, равносильное данному.

Решим неравенство 5 х - 5 < 2х - 16, х € R, и обоснуем все преоб­разования, которые мы будем выполнять в процессе решения.

Преобразования	Обоснование преобразования
1. Приведем выражении 2 x в левую часть, а число -5 в правую, поменяв их знаки на противоположные: 5 x -2 x < 16+5	Воспользовались следствием 2 из теоремы 3, получили неравенство, равносильное данному
2. Приведем подобные члены в левой и правой частях неравенства: 3 х < 21	Выполнили тождественные преобразования выражений в левой и правой частях неравенства - они не нарушили равносильности неравенств: данного и исходного.
3. Разделим обе части неравенст­ва на 3: х <7.	Воспользовались следствием из теоремы 4, получили неравенство, равносильное исходному

Решением неравенства х < 7 является промежуток (-∞, 7) и, сле­довательно, множеством решений неравенства 5 х - 5 < 2х + 16 яв­ляется промежуток (-∞, 7).

Дата добавления: 2014-01-06