Лекция 29. Системы и совокупности неравенств с одной переменной

УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ

Общее уравнение прямой - уравнение первой степени относительно пе­ременных х и у, т.е. уравнение вида Ах + Ву + С = 0 при условии, что коэффици­енты А и В одновременно не равны нулю.

Уравнение прямой в отрезках имеет вид х/а + у/b = 1, где а и b - соответственно абсцисса и ордината точек пересечения прямой с осями Ох и Оу.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид у = кх + b, где к = tg ά - угловой коэффициент, равный тангенсу угла наклона прямой к оси Ох, а b~ ордината точки пересечения прямой с осью Оу/

Уравнение прямой, проходящей через две точки А(х_], у_]) и В(х₂ ,у₂), имеет вид

(х – х ₁ ₎ ) (х₂ -х ₁) ₌ (у - у₁) _/ (у₂ - у₁)

Угловой коэффициент прямой, проходящей через точки А и В, находится по формуле

k = (у₂ - у₁) _/ (х₂ -х ₁)

Пример 16.22. Найдите отрезки, отсекаемые на осях координат прямой, проходя­щей через точки А(6; 2) и В(-3;8).)

Решение. Подставив в уравнение прямой, проходящей через две точки, координаты то­чек

А (6; 2) и В(-3;8), получим (х – 6) / (-3 – 6) = (у – 2) / (8 – 2) или у = - 2/3х + 6.

Преобразуем последнее уравнение

к уравнении ю прямой в отрезках: (2/3)х/6 + у/6 = 1 или х/9 + у/6 = 1. Значит, а = 9 и b = 6.

Ответ: 6 и 9.

Если даны две пересекающиеся прямые А₁ х + В₁ у + С₁ = 0 и А₂ + В₂ у + С₂ - 0, то для вычисления координат точки пересечения данных прямых необходимо решить систему уравнений этих прямых.

Пример 16.23. Найдите точку пересечения прямых Зх - 4 у + 11 = 0 и 4 х - у - 7 = 0. Решение. Решив систему уравнений получим х = 3 и у = 5. Следовательно, (3, 5) - точка пересечения этих прямых.

Острый угол между двумя прямыми, заданными:

- общими уравнениями А₁ х + В₁ у + С₁ = 0 и А₂ х + В₂ у + С₂ - 0

вычисляется по формуле соs φ = | (А ₁ А₂ + В₁ В₂) /(√ А₁² + В₁ ² √ А₂ ² + В₂) ² |

- общими уравнениями у = k₁ х + b₁ и у = k ₂ х + b ₂

вычисляется по формуле tg φ = | (k ₁ - k ₂) | (1 + k ₁ × k ₂)|

Пример 16.24. Найдите угол между прямыми у = 3х - 1 и у = -2х + 4.

Ответ: 45°.

Условие параллельности двух прямых, заданных:

-общими уравнениями А₁ х + В₁ у + С ₁ = 0 и А ₂ х + В₂ у + С₂ = 0, имеет вид А_{х /} А ₂ = В₁/ В₂;

- уравнениями с угловыми коэффициентами у = k₁ х + b₁ и у = k ₂ х + b ₂ имеет вид k ₁ = k ₂.

Условие перпендикулярности двух прямых, заданных:

- общими уравнениями А₁ х + В₁ у + С₁ = 0 и А₂ х + В₂ у + С₂ = 0, имеет вид А_х А ₂ + В₁ В₂ = 0;

- уравнениями с угловыми коэффициентами у = k₁ х + b₁ и у = k ₂ х + b ₂ имеет вид k ₁ k ₂ = - 1

Пример 16.25. Найдите уравнение прямой, проходящей через точку А (4; -2) и па­раллельной прямой 4 х - 2у + 5 = 0.

Ответ: у =2х - 6.

УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ с центром в начале координат и радиусом R имеет вид х² + у² = /?²; уравнение окружности с центром в точке А{а; b) и ради­усом R имеет вид (х - а)² + {у - b)² = /?²; уравнение окружности в общем виде имеет вид Ах² + Ау^г + Вх + Су + О = 0.

План:

1. Системы двух неравенств с двумя переменными: запись результата решения.

2. Совокупности неравенств с двумя переменными.

СИСТЕМЫ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Система неравенств f ₁ (х) > g ₁ (х) и f₂ (х) > g₂ (х) имеет вид:

{	f ₁ (х) > g ₁ (х)
f2 (х) > g₂ (х).

Решением этой системы является всякое значение переменной х, которое обращает каждое из неравенств в истинное числовое не­равенство.

Множество решений системы неравенств есть пересечение мно­жеств решений неравенств, образующих данную систему.

Неравенство |х| < а, где а >0, равносильно системе

х < а,

х > — а

или двойному неравенству — а < х < а.

Пример 1. Найдем множество решений системы неравенств:

5(х + 1) – 9х – 3 > - 6(х + 2)

3 (3 + 2х) < 7х — 2 (х — 8).

Ответ: Множество решений неравенства х > —7 есть числовой проме­жуток ]—7; оо[, а множество решений неравенства х < 7 - промежуток ]— оо; 7[. Решением данной системы является промежуток ]—7; 7[.

42. СОВОКУПНОСТИ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Совокупность неравенств f ₁ (х) > g ₁ (х) и f₂ (х) > g₂ (х) с одной переменной может быть записана в виде

[	f ₁ (х) > g ₁ (х) (1)
f2 (х) > g₂ (х) (2).

Решением совокупности неравенств с одной переменной назы­вается всякое значение переменной х, которое обращает в истинное числовое неравенство хотя бы одно из неравенств совокупности.

Множество решений совокуп­ности есть объединение множеств решений неравенств, образующих совокупность.

Неравенство | х| >а, где а > 0 равносильно совокупности:

[	х > а
х < - а.

Неравенство вида f ₁ (х): g ₁ (х) (1) > 0 или f ₁ (х) × g ₁ (х) (1) > 0 равносильно

совокупности (дизъюнкции) систем:

[	f (х) > 0
g (х) > 0.

[	f (х) < 0
g (х) <0.

Пример 1. Найдем множество решений совокупности

2х — 3 > х — 1,

4х + 3 > 8 — х.

Решение. Найдем сначала множества решений каждого из неравенств совокупности, а затем их объединение.

Преобразуем каждое из неравенств совокупности, заменяя его равносильным:

х > 2,

х > 1.

Множество решений неравенства х > 2 есть числовой промежу­ток ]2; ¥[, а множество решений неравенства х > 1 — промежу­ток — ]1; ¥[. Изобразим эти множества на числовой прямой и найдем их объединение. Следовательно, множество решений совокупности есть числовой промежуток ]1; оо[.

П р и м е р 2. Решим неравенство (4х – 3) / (3 – 2х) > 1.

Ответ: ]1; 1,5[.

Дата добавления: 2014-01-06