Умножение

По правилам построения аксиоматической теории определить умножение натуральных чисел можно, используя отношение «непосредственно следовать за» и понятия, введенные ранее.

Предварим определение умножения следующими рассуждениями.

Если любое натуральное число а умножить на 1. то получится а, т.е. имеет место равенство а × 1 = а и мы получаем правило умножения любого натурального числа на 1. Но как умножать число а на натуральное число b, отличное от 1? Воспользуемся следующим фактом:

если известно, что 7 × 5 = 35, то для нахождения произведения 7 × 6 достаточно к 35 прибавить 7, так как 7 × 6 = 7 × (5 + I) = 7 × 5 + 7. Таким образом, произведение а × b' можно найти, если известно произведение: а × b = а × b + а.

Отмеченные факты и положены в основу определения умножения натуральных чисел. Кроме того, в нем используется понятие алгебраической операции.

Определение. Умножением натуральных чисел называется алгеб­раическая операция, обладающая свойствами:

1) (" а Î N) а× 1 а.

2) (" а, b Î N) а× b' = а × b + а.

Число а × b называется произведением чисел а и b, а сами числа а и b - множителями.

Особенностью данного определения, так же как и определения сложения натуральных чисел, является то, что заранее неизвестно, существует ли алгебраическая операция, обладающая указанными свойствами, а если существует, то единственная ли она. В связи с этим возникает необходимость в доказательстве этого факта..

Теорема 7. Умножение натуральных чисел существует, и оно единственно.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 3.

Используя определение умножения, теорему 7 и таблицу сложения, можно вывести таблицу умножения однозначных чисел. Делаем это в такой последовательности: сначала рассматриваем умножение на 1, затем на 2 и т.д.

Легко видеть, что умножение на 1 выполняется по свойству 1 в оп­ределении умножения: 1 • 1 = 1; 2 • 1 = 2; 3 • 1 = 3 и т.д.

Рассмотрим теперь случаи умножения на 2: 1 • 2 = 1 • 1 ' = 1 • 1 + 1 = 1 + 1 = 2- переход от произведения 1 • 2 к произведению 1 • 1 ' осуще­ствлен согласно принятым ранее обозначениям; переход от выраже­ния 1 • 1 ' к выражению 1 + 1 - на основе второго свойства умножения; произведение 1 • 1 заменено числом 1 в соответствии с уже полученным результатом в таблице; и, наконец, значение выражения 1 + 1 найдено в соответствии с таблицей сложения. Аналогично: 2 • 2 = 2 • 1 ' = 2 • I + 2 = 2 + 2 = 4; 3 • 2 = 3 • 1' = 3 • 1 + 3 = 3 + 3 = 6.

Если продолжить этот процесс, получим всю таблицу умножения однозначных чисел.

Как известно, умножение натуральных чисел коммутативно, ассо­циативно и дистрибутивно относительно сложения. При аксиомати­ческом построении теории удобно доказывать эти свойства, начиная с дистрибутивности.

Но в связи с тем. что свойство коммутативности будет доказано позже, необходимо рассматривать дистрибутивность справа и слева относительно сложения.

Теорема 8. (" а, b, с Î N) (а + b) • с = а • с + b • с.

Теорема 9. (" а, b, с Î N) с • (а + b) = с • а + с • b

Это свойство дистрибутивности слева относительно сложения. Доказывается оно аналогично тому, как это сделано для дистрибутивности справа.

Теорема 10. (" а, b, с Î N) (а • b) • с = а • (b • с).

Это свойство ассоциативности умножения. Его доказательство основывается на определении умножения и теоремах 4- 9.

Теорема 11. (" а, b Î N) а • b = b • а.

Доказательство этой теоремы по форме аналогично доказательству коммутативного свойства сложения.

Поход к умножению, рассматриваемый в аксиоматической теории, является основой обучения умножению в начальной школе. Умножение на 1, как правило, определяется, а второе свойство умножения иcпользуется при составлении таблицы умножения однозначных чисел и вычислениях.

В начальном курсе изучаются все рассмотренные нами свойства умножения: и коммутативность, и ассоциативность, и дистрибутивность.

Дата добавления: 2014-01-06