Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Метод математической индукции




Упражнения

1. Объясните, почему не существует значения выражения 7:0, проведя рассуждения, аналогичные тем, которые использовались при доказательстве теоремы 28.

2. Разделите с остатком:

а) 37 на 5; б) 83 на 4; в) 12 на 15.

3. Какие остатки могут получаться при делении чисел на 4? Какой вид имеют числа, при делении которых на 4 в остатке получается:

а) 1; б) 3?

4. Известно, что при делении х на у получили неполное частное г и остаток 17. Известно также, что одно из чисел х, у и z равно 13. Какое?

5. На множестве А - {х \ х е N и 1 £ х £ 100} задано отношение «иметь один и тот же остаток при делении на 5». На какие классы разобьются числа множества А при помощи данного отношения? По­чему это разбиение возможно? В каком классе окажется 27? 98? 100?

6. На сколько классов разбивается множество N при помощи от­ношения:

а) «иметь один и тот же остаток при делении на 2»;

б) «иметь один и тот же остаток при делении на 7»?

Почему возможно такое разбиение? Назовите по одному предста­вителю из каждого класса разбиения множества N в случае б).

7. Одно число на 62 больше другого. При делении одного из них на другое с остатком в частном получается 5 и в остатке 6. Найдите эти числа.

Лекция 35. Метод математической индукции

План:

1. Метод математической индукции.

2. Решение задач.

Метод доказательства, который основан на аксиоме 4 (с. 254) и который мы использовали при доказательстве свойств сложения и умножения, можно применять и для доказательства других утверждений о натуральных числах. Основой для этого служит следующая теорема.

Теорема 30. Если утверждение А(п) с натуральной переменной п истинно для п = 1 и из того, что оно истинно для п = к (к – произвольное натуральное число), следует, что оно истинно и для следующего числа п = к‘, то утверждение А(п) истинно для любого натурального числа п.

Доказательство. Обозначим через М множество тех и только тех натуральных чисел, для которых утверждение А(п) истинно. Тогда из условия теоремы имеем: 1) 1 Î М; 2) к Î М => к' Î М. Отсюда, на основании аксиомы 4, заключаем, что М = N, т.е. утверждение А(п) истинно для любого натурального числа п.

Метод доказательства, основанный на этой теореме, называется методом математической индукции. Состоит оно из двух частей: 1) доказывают, что утверждение А(п) истинно для п = 1, т.е. что истинно высказывание А(1):

2) предполагают, что утверждение А(п) истинно для п = к, и, исходя из этого предположения, доказывают, что утверждение А(п) истинно и для п = к+1, т.е. что истинно высказывание А {к) => А (к + 1).

Если А(1) ^ А(к) => А(к + 1) - истинное высказывание, то делают вывод о том. что утверждение А(п) истинно для любого натурального числа п.

Доказательство методом математической индукции можно начинать не только с подтверждения истинности утверждения для п = 1, но и с любого натурального числа т. В этом случае утверждение А(п) будет доказано для всех натуральных чисел пт.

Приведем примеры доказательства утверждений методом математической индукции.

Пример 1. Докажем, что для любого натурального числа истинно равенство 1 + 3 + 5 +... + (2п- 1) = п.

Пример 2. Докажем, что для любого натурального числа истинно утверждение:

(8ⁿ + 6) делится на 7.




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-06; Просмотров: 1571; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.014 сек.