КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Упражнения. 1. Запишите число в виде суммы разрядных слагаемых:
7238 Алгоритм сложения Упражнения 1. Запишите число в виде суммы разрядных слагаемых: а) 4725; 6)3370; в) 10255. 2. Какие числа представлены следующими суммами: а) 6∙103 + 5∙10 + 8; б) 7∙103 + 1 ∙ 10; в)8∙104+ 103+3∙10 + 1; г) 105 + 102? 3. Напишите наибольшее трехзначное и десятизначное числа, в которых все цифры различны. 4. Решите арифметическим методом задачи из начального курса математики: а) Сумма цифр двузначного числа равна 9, причем цифра десятков вдвое больше цифры единиц. Найдите это число. б) Сумма цифр двузначного числа равна наименьшему двузначному числу. Цифра десятков обозначает число в 4 раза меньшее, чем цифра единиц. Какое это двузначное число? Какие некорректности допущены в формулировках данных задач? Следует ли их исправлять? 5. Каждая цифра пятизначного числа на единицу больше предыдущей, а сумма его цифр равна 30. Какое это число? 6. Младшим школьникам предложена задача: «Запиши 5 четырехзначных чисел, используя цифры 2, 5, 0, 6 (одна и та же цифра не должна повторяться в записи числа)». А сколько вообще всевозможных четырехзначных чисел можно записать, используя цифры 2, 5, 0 и 6 гак, чтобы одна и та же цифра не повторялась в записи числа? Сложение однозначных чисел можно выполнить, основываясь на определении этого действия, но чтобы всякий раз не обращаться к определению, все суммы, которые получаются при сложении однозначных чисел, записывают в особую таблицу, называемую таблицей сложения однозначных чисел, и запоминают. Естественно, смысл сложения сохраняется и для многозначных чисел, но практическое выполнение сложения происходит по особым правилам. Сумму многозначных чисел обычно находят, выполняя сложение столбиком. Например,
+ 341 Выясним, каким образом возникает этот алгоритм, какие теоретические положения лежат в его основе. Представим слагаемые 341 и 7238 в виде суммы степеней десяти с коэффициентами: 341 + 7238 = (3∙102 + 4∙10 + 1) + (7∙103 + 2∙102 + 3∙10 + 8). Раскроем скобки в полученном выражении, поменяем местами и сгруппируем слагаемые так, чтобы единицы оказались рядом с единицами, десятки с десятками и т.д. Все эти преобразования можно выполнить на основании соответствующих свойств сложения. Свойство ассоциативности разрешает записать выражение без скобок: 3∙102 + 4∙10 + 1 + 7∙103 + 2∙102 + 3∙10 + 8. На основании свойства коммутативности поменяем местами слагаемые: 7∙103 + 3∙102 + 2∙102 + 4∙10 + 3∙10 + 1+8. Согласно свойству ассоциативности, произведем группировку: 7∙103 + (3∙102 + 2∙102) + (4∙10 + 3∙10) + (1 + 8). Вынесем за скобки в первой выделенной группе число 102, а во второй - 10. Это можно сделать в соответствии со свойством дистрибутивности умножения относительно сложения: 7∙103 + 5∙102 + 7∙10 + 9. Итак, сложение данных чисел 341 и 7238 свелось к сложению однозначных чисел, изображенных цифрами соответствующих разрядов. Эти суммы находим по таблице сложения. Полученное выражение есть десятичная запись числа 7579. Видим, что в основе алгоритма сложения многозначных чисел лежат следующие теоретические факты: - способ записи чисел в десятичной системе счисления; - свойства коммутативности и ассоциативности сложения; - дистрибутивность умножения относительно сложения; - таблица сложения однозначных чисел. Нетрудно убедиться в том, что в случае сложения чисел «с переходом через десяток» теоретические основы алгоритма сложения будут теми же. Рассмотрим, например, сумму 748 + 436. Представим слагаемые в виде суммы степеней десяти с соответствующими коэффициентами: (7∙102 + 4∙10 + 8) + (4∙102 + 3∙10 + 6). Воспользуемся свойствами сложения и дистрибутивностью умножения относительно сложения и преобразуем полученное выражение к такому виду: (7 + 4) ∙102 + (4 + 3) ∙10 + (8 + 6). Видим, что в этом случае сложение данных чисел также свелось к сложению однозначных чисел, но суммы 7 + 4, 8 + 6 превышают 10 и поэтому последнее выражение не является десятичной записью числа. Необходимо сделать так, чтобы коэффициенты перед степенями 10 оказались меньше 10. Для этого выполним ряд преобразований. Сначала сумму 8 + 6 представим в виде 1∙10 + 4:
Затем воспользуемся свойствами сложения и умножения и приведем.Полученное выражение к виду: (7 + 4) ∙102 + (4 + 3 + 1) ∙10 + 4. Суть последнего преобразования такова: десяток, который получился при 1 сложении единиц, прибавим к десяткам данных чисел. И наконец, записав сумму 7 + 4 в виде 1∙10+ 1, получаем: (1 ∙ 10 + 1)102 + 8∙10 + 4. Последнее выражение есть десятичная запись числа 1184. Следовательно. 748+436= 1184. Выведем алгоритм сложения многозначных чисел в общем виде. Пусть даны числа: х = an ·10n + a n-1 ·10n-1 +... +а1·10 + а0 , у = bn ·10n + b n-1 ·10n-1 +... +b1·10 + b0 , х + у =(an + bn) ·10n + (a n-1 + b n-1 ) ·10n-1 +... + (а1+b1 ) ·10 + (а0 + b0) - преобразования выполнены на основе свойств ассоциативности и коммутативности сложения, а также дистрибутивности умножения относительно сложения. Лишь в случае, когда все суммы aк + bк не превосходят 9, операцию сложения можно В случае когда десятичные записи слагаемых имеют разное количество цифр, надо приписать к числу, имеющему меньшее количество цифр, несколько нулей впереди, уравняв количество цифр в обоих слагаемых. После этого применяется описанный выше процесс сложения. В общем виде алгоритм сложения натуральных чисел, записанных и десятичной системе счисления, формулируют так: 1. Записывают второе слагаемое под первым так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом. 2. Складывают единицы первого разряда. Если сумма меньше десяти, записывают ее в разряд единиц ответа и переходят к следующему разпряду (десятков).
3. Если сумма единиц больше или равна десяти, то представляют ее в виде ао + Ьо~ 1 • 10 + с0, где с0 - однозначное число; записывают с() в разряд единиц ответа и прибавляют 1 к десяткам первого слагаемого, после чего переходят к разряду десятков. 4. Повторяют те же действия с десятками, потом с сотнями и т.д. Процесс заканчивается, когда оказываются сложенными цифры старших разрядов. При этом, если их сумма больше или равна десяти, то приписываем впереди обоих слагаемых нули, увеличиваем нуль перед первым слагаемым на 1 и выполняем сложение 1+0=1. Заметим, что в этом алгоритме (как и в некоторых других) для краткости употребляется термин «цифра» вместо «однозначное число, изображаемое цифрой». 1. На примере сложения чисел 237 и 526 покажите, какие теоретические факты лежат в основе алгоритма сложения многозначных чисел. 2. При изучении алгоритма сложения трехзначных чисел в начальной школе последовательно рассматриваются такие случаи сложения: 3. Вычислите устно значение выражение; использованный прием обоснуйте: а) 2746 + 7254 + 9876; б) 7238 + 8978 + 2768; в) (4729 + 8473) + 5271; г) 4232 + 7419 + 5768 + 2591; д) (357 + 768 + 589) + (332 + 211+ 643). 4. Какие рассуждения школьников вы будете считать правильными при выполнении задания. а) Можно ли утверждать, что значения сумм в каждом столбике одинаковы:
2459+ 121 53075 + 2306 2458+ 122 53076 + 2305 2457+123 53006 + 2375 2456+ 124 53306 + 2075 б) Можно ли записать значения этих сумм в порядке возрастания: 4583 + 321 4593 + 311 4573 + 331
Дата добавления: 2014-01-06; Просмотров: 3515; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |