КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Упражнения. Лекция 41. Алгоритмы арифметических действий над целыми неотрицательными числами в десятичной системе счисления231 Алгоритм вычитания Лекция 41. Алгоритмы арифметических действий над целыми неотрицательными числами в десятичной системе счисления План: 1. Алгоритм вычитания 2. Алгоритм умножения 3. Алгоритм деления 2. Решение примеров. Вычитание однозначного числа b из однозначного или двузначного числа а, не превышающего 18, сводится к поиску такого числа с, что b + с = а, и происходит с учетом таблицы сложения однозначных чисел. Если же числа а и b многозначные и b < а, то смысл действия вычитания остается тем же, что и для вычитания в пределах 20, но техника нахождения разности становится иной: разность многозначных чисел чаще всего находят, производя вычисления столбиком, по определенному алгоритму. Выясним, каким образом возникает этот алгоритм, какие теоретические факты лежат в его основе. Рассмотрим разность чисел 485 и 231. Воспользуемся правилом записи чисел в десятичной системе счисления и представим данную разность в таком виде: 485-231 = (4∙102 + 8∙10 + 5)-(2∙102 + 3∙10 + 1). Чтобы вычесть из числа 4∙102 + 8∙10 + 5 сумму 2∙102 + 3∙10 + 1, достаточно вычесть из него каждое слагаемое этой суммы одно за другим, и тогда: (4∙102 + 8∙10 + 5) – (2∙102 + 3∙10 + 1) = (4∙102 + 8∙10 + 5) – 2∙102 - 3∙10 - 1. Чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть его из какого-либо одного слагаемого (большего или равного этому числу). Поэтому число 2∙102 вычтем из слагаемого 4∙ 102, число 3∙10 - из слагаемого 8∙10, а число 1 - из слагаемого 5, тогда: (4∙102 + 8∙10 + 5) – 2∙102 - 3∙10 – 1 = (4∙102 – 2∙102) + (8∙10 - 3∙10) + (5 – 1) Воспользуемся дистрибутивностью умножения относительно вычитания и вынесем за скобки 102 и 10. Тогда выражение будет иметь вид: (4 - 2) ∙102 + (8 - 3) ∙ 10 + (5 - 1). Видим, что вычитание трехзначного числа 231 из трехзначного числа 485 свелось к вычитанию однозначных чисел, изображенных цифрами соответствующих разрядов в записи заданных трехзначных чисел. Разности 4-2, 8-Зи5-1 находим по таблице сложения и получаем выражение: 2∙102 + 5∙10 + 4, которое является записью числа 254 в десятичной системе счисления. Таким образом, 485 - 231 = 254. Выражение (4 - 2) ∙102 + (8 - 3) ∙ 10 + (5 - 1) задает правило вычитания, которое обычно выполняется столбиком: _485 Видим, что вычитание многозначного числа из многозначного основывается на: - способе записи числа в десятичной системе счисления; - правилах вычитания числа из суммы и суммы из числа; - свойстве дистрибутивности умножения относительно вычитания; - таблице сложения однозначных чисел. Нетрудно убедиться в том, что если в каком-нибудь разряде уменьшаемого стоит однозначное число, меньше числа в том же разряде вычитаемого, то в основе вычитания лежат те же теоретические факты и таблица сложения однозначных чисел. Найдем, например, разность чисел 760 - 326. Воспользуемся правилом записи чисел в десятичной системе счисления и представим эту разность в таком виде: 760 - 326 = (7∙102 + 6∙10 + 0) – (3∙102 + 2∙10 + 6) Поскольку из числа 0 нельзя вычесть 6, то выполнить вычитание аналогичное тому, как было сделано в первом случае, невозможно. Поэтому возьмем из числа 760 один десяток и представим его в виде 10 единиц - десятичная система счисления позволяет это сделать - тогда будем иметь выражение: (7∙102 + 6∙10 + 0) – (3∙102 + 2∙10 + 6). Если теперь воспользоваться правилами вычитания суммы из числа и числа из суммы, а также дистрибутивностью умножения относительно вычитания, то получим выражение (7 - 3) ∙102 + (5 - 2) ∙10 + (10 - 6) или 4∙102 + 3∙10+4. Последняя сумма есть запись числа 434 в десятичной системе счисления. Значит, 760 - 326 = 434. Рассмотрим процесс вычитания многозначного числа из многозначного в общем виде. Пусть даны два числа х = an ·10n + a n-1 ·10n-1 +... +а1·10 + а0 , у = bn ·10n + b n-1 ·10n-1 +... +b1·10 + b0 , х - у =(an + bn) ·10n + (a n-1 - b n-1 ) ·10n-1 +... + (а1+b1 ) ·10 + (а0 + b0)
Известно также, что у < х. Используя правила вычитания числа из суммы и суммы из числа, дистрибутивность умножения относительно вычитания, можно записать, что х - у =(an - bn) ·10n + (a n-1 - b n-1 ) ·10n-1 +... + (а1 - b1 ) ·10 + (а0 - b0) (1) Эта формула задает алгоритм вычитания, но при условии, что для всех к выполняется условие ак > bк. Если же это условие не выполняется, то берем наименьшее к, для которого ак < bк. Пусть т - наименьший индекс, такой, что т > к и ат ≠ 0, а ат-1 =... = ак+1 = 0. Имеет место равенство ат ·10 т = (ат - 1) ·10 т + 9 · 10 т-1 +... + 9 · 10 к+1 + 10·10 (например, если т = 4, к = 1, ат = 6, то 6∙10⁴ = 5∙10⁴ + 9∙10³+9∙10²+10 · 10). Поэтому в равенстве (1) выражение (am - b m) ·10 т +…+ (a к - b к) ·10 можно заменить на (am - b m - 1) · 10 т + (9 - b m-1) ·10 + … + (9 - b к+1) ·10 + (a к+10 - b к) ·10. Из того, что ак < bк < 10, вытекает неравенство 0 < 10 + ак - bк < 10, а из того, что 0 < bк < 9, вытекает неравенство 0 ≤ 9 - bк < 10, где к + 1 < s < т - 1. Поэтому в записи х - у =(an - bn) ·10n +…+ (am - b m - 1) ·10 т + (9 - b m-1) ·10 +... + (9 - b к+1) ·10 + (a к+10 - b к) ·10+…+. (а1 - b1 ) ·10 + (а0 - b0) все коэффициенты с индексом, меньшим т, неотрицательны и не превосходят 9. Применяя далее те же преобразования к коэффициентам an - bn,..., am - b m - 1, через п шагов придем к записи разности х - у в виде х - у = сn ·10n + с n-1 ·10n-1 +... +с1·10 + с0 , где для всех к выполняется неравенство 0 < ск < 10. Если при этом окажется, что сп = 0, то надо отбросить первые слагаемые, вплоть до первого коэффициента, отличного от нуля. Описанный процесс позволяет сформулировать в общем виде алгоритм вычитания чисел в десятичной системе счисления. 1. Записываем вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом. 2. Если цифра в разряде единиц вычитаемого не превосходит соответствующей цифры уменьшаемого, вычитаем ее из цифры уменьшаемого, записываем разность в разряд единиц искомого числа, после чего переходим к следующему разряду. 3. Если же цифра единиц вычитаемого больше единиц уменьшаемого, т.е. b0 > а0, а цифра десятков уменьшаемого отлична от нуля, то уменьшаем цифру десятков уменьшаемого на 1, одновременно увеличив цифру единиц уменьшаемого на 10, после чего вычитаем из числа 10 + а0 число b0 и записываем разность в разряде единиц искомого числа, далее переходим к следующему разряду. 4. Если цифра единиц вычитаемого больше цифры единиц уменьшаемого, стоящие в разряде десятков, сотен и т.д. уменьшаемого, равны нулю, то берем первую отличную от нуля цифру в уменьшаемом (после разряда единиц), уменьшаем ее на 1, вес цифры в младших разрядах до разряда десятков включительно увеличиваем на 9, а цифру в разряде единиц на 10: вычитаем b0 из 10 + а0, записываем разность в разряде единиц искомого числа и переходим к следующему разряду. 5. В следующем разряде повторяем описанный процесс. 6. Вычитание заканчивается, когда производится вычитание из старшего разряда уменьшаемого. 1. На примере нахождения разности чисел 469 и 246, 757 и 208 проиллюстрируйте теоретические основы алгоритма вычитания чисел столбиком. 2. Выполните вычитание, используя запись и объясняя каждый шаг алгоритма: а) 84072 - 63894; в) 935204 - 326435; б) 940235 - 32849; г) 653481 - 233694. 3. Сколько пятизначных чисел можно записать, используя цифры 1 и 0? Чему равна разность между наибольшим и наименьшим из этих пятизначных чисел? 4. Назовите способы проверки правильности вычитания многозначных чисел и дайте им обоснование. 5. Вычислите (устно) значение выражения, использованные приемы обоснуйте: а) 2362-(839+ 1362); б) (1241 +576)-841; в) (7929 + 5027 + 4843) - (2027 + 3843). 6. Докажите, что а + (b-с) = (а + b) - с, если b ≥ с, (а - c) + b, если а ≥ с, b ≥ с Используя это правило, вычислите значение выражения: а) 6420+ (3580-1736); б) 5480 + (6290 - 3480). 7. Докажите, что а-(b -с) = (а - b) + с, если b ≥ с, а ≥ b (а + c) - с, если b ≥ с, b ≥ а+ с Используя это правило, вычислите значение выражения: а) 3720-(1742-2678), б) 2354-(965-1246). 8. Докажите, что (а - b) - с = (а - с) - b, если а ≥ с, а ≥ b а – (b + c), если а ≥ b + с Используя это правило, вычислите значение выражения: а) (4317 -1928) -317; б) (5243-1354)-1646. 9. Не выполняя вычислений, найдите пары выражений, значения а) 6387 - 1486 - 821; г) 6387 - 1486 + 821; б) 6387 - (1486 - 821); д) 6387 + 1486 - 821; в) 6387 - (1486 + 821); е) 6387 + (1486 - 821). 10. Как изменится разность, если: а) уменьшаемое уменьшить на 277, а вычитаемое увеличить на 135; б) к уменьшаемому и вычитаемому прибавить 198; в) к уменьшаемому прибавить, а из вычитаемого вычесть 198? 11. Решить следующие задачи арифметическим методом, решение запишите в виде числового выражения; выбор действий обоснуйте, используя соответствующую математическую теорию: а) Первый овощной магазин получил с базы на 500 кг овощей больше, чем второй магазин. Первый магазин продал за день 1 т 300 кг овощей, второй 1 т 100 кг. На сколько меньше овощей осталось к концу дня во втором магазине? б) В двух мешках лежат яблоки; в первом мешке на 70 яблок больше, чем во втором. В каком мешке яблок будет меньше и на сколько, если переложить из первого мешка во второй 45 яблок? в) В первой библиотеке 6844 книги, что на 959 книг меньше, чем во второй, а в третьей на 2348 книг меньше, чем в первой и второй библиотеках вместе. Сколько книг в третьей библиотеке?
Дата добавления: 2014-01-06; Просмотров: 3025; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |