Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Отношение делимости и его свойства

Лекция 44. Делимость целых неотрицательных чисел

ДЕЛИМОСТЬ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

План:

1. Отношение делимости на множестве неотрицательных чисел.

2. Свойства отношения делимости.

3. Делимость суммы, разности и произведения целых неотрицательных чисел.

 

Как известно, вычитание и деление на множестве нату­ральных чисел выполнимо не всегда. Вопрос о существовании разности натуральных чисел а и b решается просто - доста­точно установить (по записи чисел), что b < а. Для деления такого общего и простого признака нет. Поэтому в математической науке с давних пор пытались найти такие правила, которые позволили бы по записи числа а узнавать, делится оно на число b или нет, не выполняя непосредственного деле­ния а на b. В результате этих поисков были открыты не толь­ко некоторые признаки делимости, но и другие важные свой­ства чисел; познакомимся с некоторыми из них.

В начальных курсах математики Делимость натуральных чисел, как правило, не изучается, но многие факты из этого раздела математики неявно используются. Например, признак делимости суммы, разности и произведения на число тесно связаны с правилами деления суммы, разности и произведения на число, изучаемыми в начальных классах. В ряде курсов изучаются признаки делимости чисел на 2,3,5 и другие.

Вообще знания о делимости натуральных чисел расширя­ют представления о множестве натуральных чисел, позволяют глубже усвоить материал, связанный с делением натуральных чисел, применять полученные ранее знания о способах дока­зательства, о свойствах отношений и др.

 

Определение. Пусть даны натуральные числа а и b. Гово­рят, что число а делится на число b, если существует та­кое натуральное число q, что a = bq.

В этом случае число b называют делителем числаа, а число а - кратным числаb.

Например, 24 делится на 8, так как существует такое q =3, что 24 = 8·3. Можно сказать иначе: 8 - это делитель числа 24, а 24 есть кратное числа 8. В том случае, когда а делится на b, пишут: а :. b. Эту запись »« читают и так: «а кратно b». Заметим, что понятие «делитель данного числа» следует отличать от понятия «делитель», обозначающего то число, на которое делят. Например, если 18 делят на 5, то число 5 -делитель, но 5 не является делителем числа 18. Если 18 делят 6, то в этом случае понятия «делитель» и «делитель данного числа» совпадают.

Из определения отношения делимости и равенства а = 1·а, справедливого для любого натурального а, вытекает, что 1 является делителем любого натурального числа.

Выясним, сколько вообще делителей может быть у натурального числа а. Сначала рассмотрим следующую теорему.



Теорема1. Делитель b данного числа а не превышает этого числа, т.е. если

а :. b, то b < а.

Доказательство. Так как а:. b, то существует такое q Є N,что a = bq u, значит, a-b = bq – b= b·(q -1). Поскольку q Є N,тоq≥ 1. Тогда b· (q -1) ≥ 0 и, следовательно,b ≤ а.

Из данной теоремы следует, что множество делителей данного числа конечно. Назовем, например, все делители числа 36. образуют конечное множество {1,2,3,4,6,9,12,18,36}.

В зависимости от числа делителей среди натуральных чисел различают простые и составные числа.

Определение. Простым числом называется такое нату­ральное число, которое имеет только два делителя - единицу и само это число.

Например, число 13- простое, поскольку, у него только два делителя: 1 и 13.

Определение. Составным числом называется такое нату­ральное число, которое имеет более двух делителей.

Так число 4 составное, у него три делителя: 1,2 и 4.

Число 1 не является ни простым, ни составным числом в связи с тем, что оно имеет только один делитель.

Чисел, кратных данному числу, можно назвать как угодно много, - их бесконечное множество. Так, числа, кратные 4, образуют бесконечный ряд: 4, 8, 12, 16, 20, 24, …, и все они могут быть получены по формуле а = 4q, где q принимает значения 1, 2, 3,....

Нам известно, что отношение делимости обладает рядом свойств, в частности, оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно. Теперь, имея определение отношения делимо­сти, мы можем доказать эти и другие его свойства.

Теорема 2. Отношение делимости рефлексивно, т.е. любое натуральное число делится само на себя.

Доказательство. Для любого натурального а справед­ливо равенство а = а·1. Так как 1 Є N, то, по определению отношения делимости, а :. а.

Теорема3. Отношение делимости антисимметрично, т.е. если а :. b и а ≠ b,

то b ⁞͞ a.

 

Доказательство. Предположим противное, т.е. что ba. Но тогда а ≤ b, согласно теореме, рассмотренной выше.

По условию и а . b и а ≠ b. Тогда, по той же теореме, b ≤ а.

Неравенства а ≤ b и b ≤ а будут справедливы лишь тогда, когда а = b, что противоречит условию теоремы. Следова­тельно, наше предположение неверное и теорема доказана.

Теорема 4. Отношение делимости транзитивно, т.е. если а b и b с, то а с.

Доказательство. Так как а:. b, то существует такое нату­ральное число q, что a = bq, а так как b с, то существует такое натуральное число р, что b = ср. Но тогда имеем: a = bq = (cp)q = c(pq)- Число pq - натуральное. Значит, по определе­нию отношения делимости,

а с.

Теорема5 (признак делимости суммы). Если каждое из натуральных чисел а1, а2, ...,ап делится на натуральное число b, то и их сумма a1 + а2 + ... + аn делится на это число.

Доказательство. Так как а1 b, то существует такое на­туральное число q1, что а1 =bq1. Так как а2 b, то существует такое натуральное число q2, что а2 = bq2. Продолжая рассуж­дения, получим, что если аn :. b, то существует такое натуральное число qn, что ап = bqn. Эти равенства позволяют преобразовать сумму а1 + а2 + ... +ап в сумму вида bq1 + bq2 + ... + bqn. Вынесем за скобки общий множитель b, а получившееся в скобках натуральное число q1 + q2 + ... + qn обозначим буквой q. Тогда a1 + a2 + ... + an = b(q1 + q2+... + qn) = bq, т.е. сумма а1 + а2 +… + ап оказалась представленной в виде произведения числа b и некоторого натурального числа q. А это значит, что сумма а1 + а2 +… + ап делится на b, что и требовалось доказать.

Например, не производя вычислений, можно сказать, что 175 + 360 + 915 делится на 5, так как на 5 делится каждое слагаемое этой суммы.

Теорема 6 (признак делимости разности). Если числа а1 и а2 делятся на b и а1≥ а2 , то их разность а1 - а2 делится на b.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству признака делимости суммы.

Теорема 7 (признак делимости произведения). Если число а делится на b, то произведениe вида ах, где х Є N, делитcя на b.

Доказательство. Так как а:. b, то существует такое натуральное число q, что a= bq. Умножим обе части этого равенства на натуральное число х. Тогда ах=(bq)x, откуда на основании свойства ассоциативности умножения (bq)x = b(qx)и, значит, ax = b(qx), где qx - натуральное число. Согласно определению отношения делимости, ax :. b, что и требовалось доказать.

Из доказанной теоремы следует, что если один из множителей произведения делится на натуральное число b, то и все произведение делится на b. Например, произведение 24·976·305 делится на 12, так как на 12 делится множитель 24.

Рассмотрим еще три теоремы, связанные с делимостью суммы и произведения, которые часто используются при решении задач на делимость.

Теорема 8. Если в сумме одно слагаемое не делится на число b, а все остальные слагаемые делятся на число b, то вся cумма на число b не делится.

Доказательство. Пусть s = а1+ аг + ... + ап +" с и известно, что а1 :. B, а2 :. B,

___ ___

а3 :. b, … аn :. b, но с :. b. Докажем, что тогда s :. b

 

Предположим противное, т.е. Пусть s :. b. Преобразуем сумму s к виду с = s— (а1 + а2 + + аn). Так как s :. b по предположению, (а1 + а2 + + аn):. b согласно признаку делимости суммы, то по теореме делимости разности с :.b

____

Пришли к противоречию с тем, что дано. Следовательно, s :. b.

 

Например, сумма 34 + 125 + 376 + 1024 на 2 не делится, так 34:.2,376:.2,124:.2, но 125 не делится на 2.

Теорема 9. Если в произведении ab множитель a делится на натуральное число т, а множитель b делится на натуральное число n,то ab делится на mn.

Справедливость этого утверждения вытекает из теоремы о делимости произведения.

Теорема 10.Если произведение ас делится на произведе­ние bс, причем с - натуральное число, то и а делится на b.

Доказательство. Так как ас делится на bc, то существует такое натуральное число q, что ас = (bc)q, откуда ас = (bq)c и, следовательно, а = bq, т.е. а:.b.

 

Упражнения

1.Объясните, почему число 15 является делителем числа 60 и не является делителем числа 70.

2.Постройте граф отношения «быть делителем данного числа», заданного на множестве Х = {2, 6,. 12, 18, 24}. Как от­ражены на этом графе свойства данного отношения?

3. Известно, что число 24 - делитель числа 96, а число 96 -делитель числа 672. Докажите, что число 24 делитель числа 672, не выполняя деления.

4. Запишите множество делителей числа.

а) 24; 6)13; в) 1.

5.На множестве X ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11; 12} задано отношение «иметь одно и то же число делителей». Является ли оно отношением эквивалентности?

6.Постройте умозаключение, доказывающее, что:

а) число 19 является простым;

б) число 22 является составным.

7.Докажите или опровергните следующие утверждения:

а) Если сумма двух слагаемых делится на некоторое число, то и каждое слагаемое делится на это число.

б) Если одно из слагаемых суммы не делится на некоторое число, то и сумма не делится на это число.

в) Если ни одно слагаемое не делится на некоторое число, то и сумма не делится на это число.

г) Если одно из слагаемых суммы делится на некоторое число, а другое не делится на это число, то и сумма не делится на это число.

8. Верно ли, что:

а) а :. т и b :. n =>ab:.mn

___ __ ___

б) а :.п и b:.n => ab:.n;

 

в) ab:.n => а:.п или b:.n.

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
| Отношение делимости и его свойства

Дата добавления: 2014-01-06; Просмотров: 2463; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:

  1. Def. Отображение, сохраняющее отношение инцидентности называется гомоморфизмом графа.
  2. I. СООТНОШЕНИЕ ЯЗЫКА И РЕЧИ
  3. II. Назначение и боевые свойства химического и биологического оружия
  4. II. Соотношение нации, национального языка и государственного языка.
  5. Z-преобразование и его свойства
  6. Алгоритм и его свойства
  7. Алгоритм и его свойства
  8. Алгоритм. Свойства алгоритмов
  9. Благо. Товар и его свойства.
  10. Боевые свойства и поражающие действия бактериологического оружия. Очаги биологического поражения.
  11. В иерархической информационной модели объекты или их свойства распределены по уровням, причем элементы нижнего уровня входят в состав более высокого уровня.
  12. В многофакторных моделях рассматривается также такая величина, как значимость показателя. Разные свойства продукта имеют неодинаковую важность для потребителей. Модель Фишбейна




studopedia.su - Студопедия (2013 - 2017) год. Не является автором материалов, а предоставляет студентам возможность бесплатного обучения и использования! Последнее добавление ‚аш ip: 54.80.230.230
Генерация страницы за: 0.101 сек.