Если фигура состоит из двух частей, то ее площадь равна сумме площадей этих частей

Равные фигуры имеют равные площади;

План

Лекция 58. Геометрические величины

3. Площадь фигуры. Способы измерения площадей фигуры. Равновеликие и равносоставленные фигуры.

4. Нахождение площади прямоугольника, многоугольника и других фигур.

5. Площадь произвольной плоской фигуры и ее измерение.

3. Понятие площади фигуры и ее измерение

Каждый человек представляет, что такое площадь комнаты, пло­щадь участка земли, площадь поверхности, которую надо покрасить. Он также понимает, что если земельные участки одинаковы, то площа­ди их равны; что площадь квартиры складывается из площади комнат и площади других ее помещений.

Это обыденное представление о площади используется при ее опре­делении в геометрии, где говорят о площади фигуры. Но геометрические фигуры устроены по-разному, и поэтому, когда говорят о площади, вы­деляют определенный класс фигур. Например, рассматривают площадь многоугольника, площадь произвольной плоской фигуры, площадь поверхности многогранника и др. В нашем курсе речь будет идти толь­ко о площади многоугольника и произвольной плоской фигуры.

Так же, как и при рассмотрении длины отрезка и величины угла, бу­дем использовать понятие «состоять из», определяя его следующим образом:

фигура F состоит (составлена) из фигур F1 и F2, если она является их объединением, и у них нет общих внутренних точек. В этой же ситуа­ции можно говорить, что фигура F разбита на фигуры F1 и F2. Напри­мер, о фигуре F, изображенной на рисунке 2а), можно сказать, что она состоит из фигур F1 и F2, поскольку они не имеют общих внутрен­них точек. Фигуры F1 и F2 на рисунке 26) имеют общие внутренние точки, поэтому нельзя утверждать, что фигура F состоит из фигур F1 и F2. Если фигура F состоит (составлена) из фигур F1 и F2, то пишут: F = F1 ⊕ F2.

Определение. Площадью фигуры называется положительная ве­личина, определенная для каждой фигуры так, что:

Чтобы измерить площадь фигуры, нужно иметь единицу площади. Как правило, такой единицей является площадь квадрата со стороной, равной единичному отрезку.

Условимся площадь единичного квадрата обозначать буквой Е, а число, которое получается в результате изме­рения площади фигуры – S(F). Это число называют численным значе­нием площади фигуры F при выбранной единице площади Е. Оно должно удовлетворять условиям:

1. Число S(F) - положительное.

2. Если фигуры равны, то равны численные значения их площадей.

3. Если фигура F состоит из фигур F1 и F2, то численное значение пло­щади фигуры равно сумме численных значений площадей фигур F1 и F2.

4. При замене единицы площади численное значение площади дан­ной фигуры F увеличивается (уменьшается) во столько же раз, во сколько новая единица меньше (больше) старой.

5. Численное значение площади единичного квадрата принимается равным 1, т.е. S(F) = 1.

6. Если фигура F1 является частью фигуры F2, то численное значе­ние площади фигуры F1 не больше численного значения площади фи­гуры F2, т. е. F1 ⊂ F2 => S(F1) ≤ S(F2)

В геометрии доказано, что для многоугольников и произвольных плоских фигур такое число всегда существует и единственно для каждой фигуры.

Дата добавления: 2014-01-06