Общие зависимости

Существенное рассеяние основных параметров надежности предопределяет необходимость рассматривать её в вероятностном аспекте.

Как выше было показано на примере характеристик распределений, параметры надежности используются в статистической трактовке для оценки состояния и в вероятностной трактовке для прогнозирования. Первые выражаются в дискретных числах, их в теории вероятностей и математической теории надежности называют оценками. При достаточно большом количестве испытаний они принимаются за истинные характеристики надежности.

Рассмотрим проведенные для оценки надежности испытания или эксплуатацию значительного числа N элементов в течение времени t (или наработки в других единицах). Пусть к концу испытания или срока эксплуатации останется N _p работоспособных (неотказавших) элементов и п отказавших.

Тогда относительное количество отказов Q(t)=n/N.

Если испытание проводится как выборочное, то Q(t) можно рассматривать как статистическую оценку вероятности отказа или, если N достаточно велико, как вероятность отказа.

В дальнейшем в случаях, когда необходимо подчеркивать отличие оценки вероятности от истинного значения вероятности, оценка будет дополнительно снабжаться знаком звездочки, в частности Q*(t).

Вероятность безотказной работы оценивается относительным количеством работоспособных элементов

.

Так как безотказная работа и отказ – взаимно противоположные события, то сумма их вероятностей равна 1:

P(t) + Q(t) = 1

Это же следует из приведенных выше зависимостей.

При t =0 n =0, Q(t) =0 и Р P(t) =1.

При t=¥ n = N, Q(t) =1 и Р P(t) =0.

Распределение отказов по времени характеризуется функцией плотности распределения f (t) наработки до отказа. В статистической трактовке , в вероятностной трактовке Здесь D n и D Q(t) – приращение числа отказавших объектов и соответственно вероятности отказов за время D (t).

Вероятности отказов и безотказной работы в функции плотности f(t) выражаются зависимостями

Интенсивность отказов l_x(t) в отличие от плотности распределения здесь n относится к числу объектов N _p, оставшихся работоспособными, а не к общему числу объектов. Соответственно в статистической трактовке

и в вероятностной трактовке, учитывая, что N _p /N=P(t),

.

Получим выражение для вероятности безотказной работы в зависимости от интенсивности отказов. Для этого в предыдущее выражение подставим , разделим переменные и произведем интегрирование:

Cоотношение является одним из основных уравнений теории надежности.

К числу важнейших общих зависимостей надежности относятся зависимости надежности систем от надежности элементов.

Рассмотрим надежность системы последовательно соединенных элементов (рис. 1.2)

По теореме умножения вероятностей, вероятность произведения независимых событий, равна произведению вероятностей этих событий. Вероятность безотказной работы системы равна произведению вероятностей безотказной работы отдельных элементов, т. е. P _ст (t)=P ₁ (t)P ₂ (t)...P_n(t).

Если P ₁ (t) = P ₂ (t) =...= Р_n(t), то Р _cт (t) = (t). надежность сложных систем получается низкой. Например, если система состоит из 10 элементов с вероятностью безотказной работы 0,9, то общая вероятность получается 0,9¹⁰» 0,35. Вероятность безотказной работы отдельных элементов достаточно высокая, выразив P ₁ (t) = P ₂ (t) =...= Р_n(t) через вероятности отказов, получаем

так Q_{n- 1} ´ Q_n ® 0 ими можно пренебречь. При Q ₁ (t) = Q ₂ (t) =...= Q_n(t) P _ст=1- nQ ₁ (t). Пусть в системе из шести одинаковых последовательных элементов P ₁ (t)= 0,99. Тогда Q ₁ (t)=0,01 и Р _cт „(t)= 0,94.

Вероятность безотказной работы для любого промежутка времени.

,

где Р(Т) и Р(T+t) – вероятности безотказной работы за время Т и T+t соответственно; P(t) – вероятность безотказной работы за время t.

Дата добавления: 2014-01-06