Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Показательный (экспоненциальный) закон распределения




Показательное распределение является частным случаем распределения Эрланга при k = 0.

Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной вели­чины X. которое описывается плотностью

 
 


(3.1)

 

где λ – постоянная положительная величина.

Из выражения (3.1), следует, чтопоказательное распределение определяется одним параметром λ.

Эта особенность показательного распределения указывает на его преимущество по сравнению с распределениями, зависящими от боль­шего числа параметров. Обычно параметры неизвестны и приходится находить их оценки (приближенные значе­ния) разумеется, проще оценить один параметр, чем два или три и т. д. Примером непрерывной случайной вели­чины, распределенной по показательному закону, может служить время между появлениями двух последователь­ных событий простейшего потока.

Найдем функцию распределения показательного закона.

Итак

(3.2)

Графики плотности и функции распределения показа­тельного закона изображены на рис. 3.1.

 
 

 


Рис.3.1.Графики плотности и функции распределения показательного закона

 

Найдем вероятность попадания в интервал (а, b) непрерывной случайной величины X, которая распреде­лена по показательному закону, заданному функцией распределения

Используем известную формулу вычисления вероятности попадания случайной величины в заданный интервал, а именно:

 
 


Учитывая, что получим:

(3.3)

Значения функции можно находить по таблице.

 

Числовые характеристики показательного распределения

Пусть непрерывная случайная величина Χ рас­пределена по показательному закону

Найдем математическое ожидание, используя формулу её вычисления для непрерывной случайной величины:

 
 

 


Интегрируя по частям, получим

(3.4)

Таким образом, математическое ожидание показатель­ного распределения равно обратной величине параметра λ.

Найдем дисперсию, используя формулу её вычисления для непрерывной случайной величины:

Интегрируя по частям, получим

 
 

 

 


Следовательно:

(3.5)

Найдем среднее квадратическое отклонение, для чего извлечем квадратный корень из дисперсии:

(3.6)

Сравнивая (3.4), (3.5) и (3.6), видно, что

(3.7)

т. е. математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение показательного распределения равны между собой.

Показательное распределение широко применяетсяв различных приложениях финансовых и технических задач, например, в теории надежности.

 



4. Распределение «хи-квадрат» и распределение Стьюдента.

 

4.1 Распределение «хи-квадрат» (- распределение)

Пусть Χi (ί = 1, 2, ..., n)—нормальные незави­симые случайные величины, причем математическое ожи­даниекаждой из нихравно нулю, а среднее квадратическое отклонениеединице.

Тогдасумма квадратов этих величин

распределена по закону с степенями свободы, если же эти величины связаны одним линейным соотношением, например , то число степеней свободы

Распределение хи-квадрат нашло широкое применение в математической статистике.

Плотность этого распределения

 
 

 


(4.1)

где - гамма-функция, в частности .

Отсюда видно, чтораспределение хи-квадрат опре­деляется одним параметромчислом степеней свободы k.

С увеличением числа степеней свободыраспределение хи-квадрат медленно приближается к нормальному.

Хи-квадрат распределение получается, если в законе распределения Эрланга принять λ= ½ и k = n/2 – 1.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, имеющей хи-квадрат распределение, определяются простыми формулами, которые приведем без вывода:

(4.2)

Из формулы следует, что при хи-квадрат распределение совпадает с экспоненциальным распределением при λ= ½ .

Интегральная функция распределения при хи-квадрат распределенииопределяетсячерез специальные неполные табулированные гамма-функции

 
 


(4.3)

 

 

Применение системы уравнений (4.3), использующей табулированные (табличные) неполные гамма-функции, позволяет определить вероятность попадания случайной величины в заданный интервал, имеющей хи-квадрат распределение.

f(x)
На рис.4.1. приведены графики плотности вероятности и функции распределения случайной величины, имеющей хи-квадрат распределениепри n = 4, 6, 10.

 

 

Рис.4.1. а)Графики плотности вероятности при хи-квадрат распределении

 

 


Рис.4.1. б)Графики функции распределения при хи-квадрат распределении

4.2 Распределение Стьюдента

Пусть Z – нормальная случайная величина, причём

а V – независимая от Z величина, которая распределена по закону хи-квадрат с k степенями свободы.Тогда величина:

 
 


(4.4)

имеет распределение, которое называют t-распределением или распределением Стьюдента (псевдоним английского статистика В. Госсета),

с k = n - 1 степенями свободы (n- объём статистической выборки при решении задач статистки).

Итак, отношение нормированной нормальной величинык квадратному корню из независимой случайной вели­чины, распределенной по закону «хи квадрат» с k степе­нями свободы, деленной на k,распределено по закону Стьюдента с k степенями свободы.

Плотность распределения Стьюдента:

 
 


(4.5)





Дата добавления: 2014-01-06; Просмотров: 1105; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2017) год. Не является автором материалов, а предоставляет студентам возможность бесплатного обучения и использования! Последнее добавление ‚аш ip: 54.80.89.146
Генерация страницы за: 0.093 сек.