Подмножества

Понятие подмножества возникает тогда, когда необходимо рассматривать некоторое множество не самостоятельно, а как часть другого, более широкого множества.

Говорят, что множество A является частью или подмножеством множества B (обозначается A Í B и читается как «A содержится в B» или «A входит в B»), если каждый элемент множества A является одновременно и элементом множества B, т.е. если x Î A, то x Î B. Символ Í обозначает отношение нестрогого (несобственного) включения между множествами.

В сравнении с обычной математикой символ Í близок по смыслу с символом ≤, то есть запись A Í B говорит о том, что множество A «меньше или равно» множеству B с точки зрения содержащихся элементов. Но путать эти символы не следует: символ ≤ применяется для соотношения чисел, а символ Í для соотношения множеств. Иногда вместо выражения A Í B применяется равносильная запись B Ê A.

Например, пусть A – множество студентов-отличников в данной группе, B – множество всех студентов в группе, C – множество всех студентов в данном потоке. Тогда всегда будут справедливы следующие отношения: A Í B, B Í С, A Í C. В то же время отношения B Í A, C Í B и C Í A будут справедливы не всегда.

Если А является подмножеством В и А ¹ B, то говорят, что А является строгим (собственным) подмножеством В, что записывается как A Ì B. Знак Ì схож по смыслу с математическим знаком < (строго меньше) и подчеркивает, что во множестве B есть хотя бы один элемент, не принадлежащий множеству A.

Например, если A – множество всех областных центров Украины, а B – множество всех городов Украины, то A Ì B. Запись A Í B также будет верной, но менее точно отражающей соотношение множеств.

Подмножества обладают рядом свойств:

1. Свойство рефлексивности: X Í X (всякое множество есть подмножество самого себя).

2. Свойство транзитивности: если X Í Y, Y Í Z, то X Í Z.

3. Свойство антисимметрии: если XÍY и YÍX, то X=Y. Данный принцип еще называют интуитивным принципом объемности: два множества считаются равными, если состоят из одних и тех же элементов.

Не следует путать принадлежность элементов множеству и понятие подмножества. Так, например, число 23 является элементом множества натуральных чисел N, но не является его подмножеством, а множество, содержащее единственный элемент 23 (такое множество можно обозначить как { 23 }), является подмножеством N, но не его элементом.

Также не надо путать символы Ì и Î. Первый из них применяется ко множествам, второй – к элементам множества. Например: хотя 1Î{1}, {1}Î{{1}}, но 1Ï{{1}}, так как единственным элементом {{1}} является {1}.

Дата добавления: 2014-01-06