Помехоустойчивое кодирование

Основная теорема для дискретного канала с шумом утверждает, что если скорость создания информации источником меньше или равна пропускной способности канала, то существует код, обеспечивающий передачу информации по каналу со сколь угодно малой частотой ошибок. Однако при этом не решается вопрос, как следует кодировать сообщения, чтобы добиться при максимальной скорости передачи минимума ошибок. Эта проблема решается специальными методами помехоустойчивого кодирования.

Наиболее распространены алгебраические методы, порождающие класс групповых кодов. Также есть геометрические методы, при которых кодовые комбинации представляются в виде элементов некоторого абстрактного пространства, называемого кодовым пространством.

Кодовое пространство n- разрядного кода с основанием m составляет ровно mⁿ- векторов. При передаче информации, как правило, используются не все возможные комбинации, а лишь некоторое из подмножеств , где N<mⁿ. Расстояние между парой векторов набора V₁ обозначается:

,

где i, j=1, 2,…, N;

i¹j.

Величина , представляет собой минимальное расстояние между парой векторов набора V₁ и называется кодовым расстоянием (d).

В моделях систем передачи информации используется такой компонент, как дискретный канал связи (рис. 75). Передаваемый кодовый вектор u₁ складывается в дискретном канале поразрядно по модулю 2 с вектором ошибки е, и в результате на измерительном приборе принимается уже другой, искаженный кодовый вектор .

Рис. 75. Дискретный канал связи

Например:

если u₁=11111, е=01000, то

.

Во втором разряде результирующей кодовой комбинации произошла ошибка.

При теоретических исследованиях используют математические модели ошибок, под которыми понимается распределение вероятностей по всем возможным векторам ошибок.

Пример модели ошибки, основанной на статистической гипотезе: в каждом разряде вектора ошибки единица появляется в вероятностью Р независимо от того, какие значения получили остальные разряды вектора ошибки.

Величина, равная числу единиц в векторе ошибки называется кратностью ошибки q. Для выдвинутой статистической гипотезы применим биноминальный закон распределения кратности ошибки.

Тогда математическая модель ошибки будет иметь вид:

,

где P_{n, q}- вероятность того, что при передаче по дискретному каналу в кодовой комбинации бинарного кода длины n возникает ошибка кратности q.

Пример: определение вероятности возникновения ошибок кратности q=0, 1, 2, 3, 4, 5 в кодовой комбинации длины 5 бинарного кода, если вероятность ошибочного приема разряда равна 0,1. Определить вероятность ошибочного приема кодовой комбинации.

Модель ошибки .

q
P5, q	0,56	0,33	0,07	0,008	0,0004	0,00001

Видно, что вероятность появления ошибок большой кратности мала. Наиболее часто появляются ошибки кратности 1.

Вероятность ошибочного приема кодовой комбинации определим по формуле:

.

Математические модели ошибок должны отражать реальные процессы, происходящие в канале связи и строиться на статических исследованиях помех в канале.

Эффективность помехоустойчивого кода зависит от вида помех, действующих в канале связи.

Дата добавления: 2014-01-06