Def 28. Кольцо, в котором все отличные от нуля элементы составляют группу по умножению, называется телом

Def 25. Кольцом называется полукольцо, в котором выполнимо обратимость сложения (т.е. есть q).

Полукольца.

Def 24. Непустое множество м с двумя ассоциативными бинарными операциями f₁² и f₂², связанными законами дистрибутивности: f₂² (f₁² (x,y)) = f₁² (f₂² (x,z) f(y,z)).

Пример. (a+b)´ c = a´ c + b´ c; a´ (b+c) = a´ b + a´ c.

Замечание. Обычно полагают, что сложение коммутативно и существует нуль 0, для которого а+0 = а при любых а.

Пример. ‹Z^t, +, ´, 0› - полукольцо.

Иначе: алгебра ‹M, f₁², f₂²›, которая по умножению является мультипликативным группоидом, по сложению – абелевой группой, причём операции f₁² и f₂² связаны законами дистрибутивности, называется кольцом.

Примеры. ‹D, +, ´ ›, ‹Z, +, ´ ›, ‹Q, +, ´ ›.

Действительно, для этих алгебр выполняются аксиомы кольца ‹M, +, ´, e, q›;

• Коммутативность сложения а + в = в + а для любых а, в Î D (a, b Î Z; a, b Î Q);
• Ассоциативность сложения а + (в + с) = (а + в) + с;
• Обратимость сложения (возможность вычитания: уравнение а + х = в имеет решение х = в – а Î M (M = D; M = Z; M = Q));
• Дистрибутивность умножения относительно сложения а´ (в+с) = а´ в +а´ с, (в+с)´ а = в´ а + с´ а.

Из первых трёх свойств ясно, что элементы множества вещественных чисел D (всех целых чисел Z, всех рациональных чисел Q) образуют абелеву группы относительно сложения. Нуль 0этой группы относительно умножения является "поглощающим" элементом, т.е. a*0=0*a=0 для любого элемента a кольца.

Def 26. Множество А элементов кольца M называется подкольцом, если АÍ М само является кольцом.

Пример. ‹Z,+,*›, ‹Q,+,*› есть подкольцо кольца ‹D,+,*›.

Def 27. Подкольцо ‹P,+,*› кольца ‹M,+,*› называется левым (правым или двусторонним) идеалом, если для любых элементов xÎ P и yÎ M произведение y*x (соответственно x*y) лежит в Р.

Замечание. 1) элементы x,yÎ M называются сравнимыми по идеалу p, если y-xÎ p

2) всякий идеал определяет на множестве М отношение эквивалентности.

Иначе: телом называется кольцо из уравнений a*x=b и y*a=b при a¹ 0 имеет единственное решение.

Пример. Всякая конечномерная алгебра без делителей нуля есть тело.

Def 29. Коммутативное тело называется полем (т.е. это тело у которого мультипликативная группа абелева).

Пример. Множество всех действительных (рациональных, комплексных) чисел есть поле относительно естественных операций сложения и умножения.

Замечание

1. Поле называют полем Галуа, если мощность его множества М конечна, т.е. если ÷ М÷ =n, nÎ N.

2. Все элементы поля образуют абелеву группу по сложению (аддитивная группа поля), а все ненулевые элементы - абелеву группу по умножению (мультипликативная группа поля)

Алгебра множеств (алгебра Кантора).

Def 30. Алгеброй множеств ‹b (М)È,Ç,Ø › называют непустую совокупность подмножеств некоторого универсума М замкнутая относительно булевых операций – пересечения (мультипликативная операция), объединения ( аддитивная операция) и дополнения (унарная операция), производимых в конечном числе.

Для операций алгебры Кантора выполняются следующие аксиомы (тождества, законы) для подмножеств M_i,M_j,M_kÍ M:

• коммутативности объединения и пересечения M_iÈ М_j=M_jÈ M_i; M_iÇ М_j=M_jÇ M_i
• ассоциативности È и Ç: М_iÈ (М_jÈ М_k)=(М_iÈ М_j)È М_k; М_iÇ (М_jÇ М_k)=(М_iÇ М_j)Ç М_k
• дистрибутивности È относительно Ç и Ç относительно È: М_iÈ (М_jÇ М_k)=(М_iÈ М_j)Ç (M_iÈ М_k)
• М_iÇ (М_jÈ М_k)=(М_iÇ М_j)È (M_iÇ М_k).
• идемпотентности (повторения) для È и Ç: M_iÈ M_i=M; M_iÇ M_i=M_i
• комплементарности (дополнения) для È и Ç: M<sub>i È `</sub> M<sub>i</sub> U; M<sub>i</sub> Ç ` M_i=Æ; M_{iÈ Æ} =M_i; M_{iÇ Æ} =Æ; M_iÈ U=U; M_iÇ U=M_i; Æ ` U; U=` Æ.
• де – Моргана M_i È M_j=` M<sub>i</sub> Ç ` M_j; M_i Ç M_j=` M<sub>i</sub> È ` M_j
• инволюция (двойственного дополнения): M_i =M_i
• поглощения М_iÇ (M_iÈ M_j)=M_i; M_iÈ (M_iÇ M_j)=M.

Замечания. 1)приведенные тождества можно установить (но не доказать!) с помощью диаграмм Венна.

2) Алгебра Кантора по аддитивной операции È и мультипликативной операции Ç является абелевой полугруппой (т.к. для этих операций выполняются только законы коммутативности и ассоциативности). Алгебра множеств не является группой, поскольку уравнения М_IÇ X=M_J и М_IÈ X=M_J не имеют решения для случая, когда множества не пересекаются: М_JÇ M_I=Æ. Именно поэтому эта алгебра по двуместным операциям È и Ç не является кольцом. Алгебра Кантора принадлежит к классу булевых алгебр.

3) Отличие алгебры чисел ‹N,+,*› от алгебры множеств ‹b (M),Ç,È,-› заключается в различных отношениях между элементами множества:

для чисел может быть только три отношения вида:

a‹b, a=b, b‹a (a, bÎ N);

• для подмножеств множества M могут быть пять отношений вида:

M_i Ì M_j; M_i =M_j; M_j Ì M_i; M_i Ç M_j=Æ; M_i Ç M_{j¹ Æ .}

4) если М_I,М_J,М_K – нечеткие подмножества универсума М, то для них удовлетворяются все тождества алгебры Кантора, за исключением двух:

5) тождества алгебры множеств можно преобразовывать и упрощать в различные соотношения, содержащие множества.

Дата добавления: 2014-01-06