Пересечение множеств. Универсальное множество

Лекция № 3

Универсальное множество

Обычно предметы, обладающие определенным свойством, выделяются из некоторого наперед заданного основного, или универсального, множества предметов.

Универсальное множество – это самое «большое» множество, содержащее в себе все множества, рассматриваемые в задаче.

Например: если речь идёт о множестве чисел, то таким множеством может быть множество R всех действительных чисел; если же речь идёт об учениках 1 «Б» класса СОШ № 26, то универсальным множеством может служить множество всех учеников школы № 26 или множество всех учеников школ города (в зависимости от контекста).

На диаграммах Эйлера–Венна универсальные множества принято обозначать в виде прямоугольника и буквой U.

	U

Операции над множествами

Из элементов двух и более множеств можно образовать новые множества.

Пусть даны два множества: A = {2, 4, 6, 8} и B = {5, 6, 7, 8, 9}.

Образуем множество C, в которое включим общие элементы множеств А и В, т.е. С = {6, 8}. Полученное множество С называется пересечением множеств А и В.

Определение. Пересечением множеств А и В называют множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множеству А и множеству В.

Пересечение обозначают АÇВ. Тогда, по определению, АÇВ = {x÷ xÎA и x ÎB}.

Изобразим пересечение с помощью кругов Эйлера:

Если множества А и В не имеют общих элементов, то говорят, что их пересечение пусто и пишут АÇВ =Æ.

Выясним, как находить пересечения множеств в конкретных случаях.

Если элементы множеств А и В перечислены, то чтобы найти АÇВ достаточно перечислить элементы, которые одновременно принадлежат множеству А и множеству В, т.е. их общие элементы.

Если множества заданы характеристическими свойствами своих элементов, то характеристическое свойство множества А Ç В составляется из характеристических свойств пересекаемых множеств с помощью союза «и».

Найдём, например, пересечение множества А – чётных натуральных чисел и множества В– двузначных чисел. Характеристическое свойство множества А – «быть чётным натуральным числом», а множества В – «быть двузначным числом». Тогда элементы пересечения данных множеств должны обладать свойством: «быть чётными натуральными и двузначными числами».

Когда нужно найти пересечение множества А и его подмножества В, используют свойство АÇВ=В. Следовательно, характеристическое свойство элементов множества АÇВ будет таким, как и свойство элементов множества В.

Аналогично тому, как определяют пересечение двух множеств можно определять пересечение нескольких множеств.

Задание! Подберите несколько примеров пересекающихся и непересекающихся множеств из начального курса математики.

Дата добавления: 2014-01-06