Графическое изображение декартова произведения

Декартово произведение множеств и его свойства

С понятием декартова произведения можно было встретиться при изучении математики в средней школе, а именно при изучении «декартовой» прямоугольной системы координат.

Используя две цифры, например, 3 и 5, можно записать четыре двузначных числа: 35, 53, 33, 55. Несмотря на то, что числа 35 и 53 записаны с помощью одних и тех же цифр, числа различны. В том случае, когда важен порядок следования элементов, в математике говорят об упорядоченных наборах элементов.

Упорядоченную пару, образованную из элементов а и в, принято записывать, используя круглые скобки: (а; в). Элемент а называется первой координатой (компонентой) пары, а элемент в – второй координатой (компонентой) пары.

В работе с детьми часто возникает необходимость образовывать пары: строит детей парами, сроить слоги из пар букв и т. п.

Пары (а; в) и (с; d) равны в том случае, когда а=с и в=d.

Упорядоченные пары можно образовывать как из элементов одного множества, так и двух множеств. Пусть, например, А={1,2,3}, В={3,5}. Образуем упорядоченные пары так, чтобы первая компонента принадлежала множеству А, а вторая – множеству В. Перечислив все такие пары, получим множество: {(1,3), (1,5), (2,3), (2,5), (3,3), (3,5)}. Это множество называют декартовым произведением множеств А и В.

Определение. Декартовым произведением множеств А и В называется множество всех пар, первая компонента которых принадлежит множеству А, а вторая компонента принадлежит множеству В.

Обозначают декартово произведение А´В. Тогда по определению можно записать: А´В={(х,у)÷ х ÎА и у ÎВ}.

Выясним, какими свойствами обладает операция нахождения декартова произведения множеств. Так как декартовы произведения А´В и В´А состоят из различных элементов, то операция нахождения декартова произведения множеств свойствами коммутативности и ассоциативности не обладает. Но она дистрибутивна относительно объединения и вычитания множеств, т.е. для любых множеств А, В и С выполняются равенства:

1. (АÈВ)´С=(А´С)È(В´С),

2. (А\В) ´С=(А´С)\(В´С).

Проверим справедливость свойства дистрибутивности декартова произведения относительно объединения, если А={3, 4, 5}, В={5, 7}, С={7, 8}.

АÈВ={3,4,5,7}, (АÈВ)´С= {(3,7), (3,8), (4,7), (4,8), (5,7),(5,8), (7,7), (7,8)}.

А´С={(3,7), (3,8), (4,7), (4,8), (5,7),(5,8)}, В´С={(5,7),(5,8), (7,7), (7,8)},

(А´С)È(В´С)= {(3,7), (3,8), (4,7), (4,8), (5,7),(5,8), (7,7), (7,8)}.

Видим, что множества (АÈВ)´С и (А´С)È(В´С) состоят из одних и тех же элементов, следовательно данное равенство справедливо.

Задание! Показать самостоятельно справедливость невыполнения свойств коммутативности и ассоциативности.

Дата добавления: 2014-01-06