Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Загрузка...

Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Число элементов в объединении и разности конечных множеств

Лекция № 7

 

Чтобы найти число элементов объединения двух конечных непересе­кающихся множеств, достаточно найти это объединение и пересчитать элементы. Но можно определять число элементов в объединении конечных мно­жеств, не образуя его и не обращаясь к пересчету элементов. Выясним как это делать.

Условимся предложение «Множество А содержит а элементов» за­писывать в таком виде: п(А)= а. Например, если А = {х, у, z}, то ут­верждение «Множество А содержит три элемента» можно записать так: п(А) = 3.

Можно доказать, что если в множестве А содержится а элементов, а в множестве В – b элементов и множества А и В не пересекаются, то в объединении множеств А и В содержится а + b элементов, т.е.

п(АÈВ) = п(А) + п(В) = а + b. (1)

Это правило нахождения числа элементов в объединении двух конечных непересекающихся множеств, его можно обобщить на случай t попарно непересекающихся множеств, т.е. если множества А1, А2,… , Аt попарно не пересекаются, то n(А1ÈА2È… ÈАt ) = п(А!) + п(А2) + ... + п(Аt).

Пример. А = {x, y, z}, В = {k, l, т, р}, С = {q, s}. Найдем число элементов в объединении данных множеств.

Пересчитав элементы данных множеств, получаем, что п(А) = 3, п(В) = 4, и п(С) = 2. Видим, что АÇВ = Æ, АÇС =Æ , ВÇС =Æ, т.е. данные множества попарно не пересекаются. Тогда, согласно правилу нахождения числа элементов в объединении конечных множеств, по­лучаем:

п(АÈ ВÈС) = п(А) + п(В) + п(С) = 3 + 4 + 2 = 9.

Таким образом, в объединении заданных трех множеств содержит­ся 9 элементов.

Формула (1) позволяет находить число элементов в объединении конечных непересекающихся множеств. А если множества А и В имеют общие элементы, то как найти число элементов в их объединении?

Пусть, например, А = {х, у, z}, а В = {х, z, р, s, k}. Тогда А È В = {х, y, z, р, s, k}, т. е. если п) = 3, n (В) = 5 и АÇВ ≠ Æ, то п(АÈ В) = 6. Нетрудно видеть, что в данном случае п (АÇВ) = 2 и, значит, общие элементы множеств А и В в объединении этих множеств записаны только один раз.

В общем виде правило подсчета элементов в объединении двух конеч­ных множеств может быть представлено в виде формулы:

п(АÈB) = n(A) + n(B)– n(AÇВ). (2)

Еще более сложно выглядит формула для подсчета числа элементов объединения трех множеств:

п(АÈBÈС) = n(A) + n(B)+ n(С) – n(AÇВ)– n(AÇС)– n(ВÇС)+ n(AÇВÇС).

Нетрудно убедиться в том, что если В Ì А, то

п(В'А) = п(А)–п(В),

т.е. число элементов дополнения подмножества В до данного конеч­ного множества А равно разности численностей этих множеств.



Пусть, например, А = {х, у, z, р, t}, В = {х, р, t}. Найдем число эле­ментов в дополнении подмножества В до множества А.

Пересчитав элементы множеств А и В, получаем, что п(А) = 5, п(В) = 3. Тогда п(В'А) = п(А) - п(В) = 5 – 3 = 2. Таким образом, в до­полнении множества В до множества А содержится два элемента.

Полученные формулы для подсчета числа элементов в объедине­нии двух и более множеств можно использовать для решения тексто­вых задач следующего вида.

Задача. Из 40 студентов курса 32 изучают английский язык, 21 -немецкий язык, а 15 - английский и немецкий языки. Сколько студен­тов курса не изучает ни английский, ни немецкий языки?

Решение. Пусть А - множество студентов курса, изучающих анг­лийский язык, В - множество студентов курса, изучающих немецкий язык, С - множество всех студентов курса. По условию задачи: п(А) = 32, п(В) = 21, п(АÇВ) = 15, п(С) = 40. Требуется найти число сту­дентов курса, не изучающих ни английского, ни немецкого языка.

1) Найдем число элементов в объединении данных множеств А и В. Для этого воспользуемся формулой (2):

п(АÈВ) = п(А) + п(В) - п(А Ç В) = 32 + 21 – 15 = 38.

2) Найдем число студентов курса, которые не изучают ни англий­ский, ни немецкий языки: 40 - 38 = 2.

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
| Число элементов в объединении и разности конечных множеств

Дата добавления: 2014-01-06; Просмотров: 938; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:

  1. Def. Если J есть независимое подмножество в гиперграфе, то порожденный подгиперграф является пустым.
  2. Def.32 Морфизм М есть обобщение понятия бинарного соответствия между множествами на составляемые алгебраические системы.
  3. Def.36 Линейно упорядоченная часть упорядоченного множества М называется максимальной цепью, если оно не содержится строго ни в какой-либо другой цепи М.
  4. Def.Число ребер гиперграфа, инцидентных данной вершине называют степенью вершины.
  5. Ed и eППП иногда нормируются не на число гамма-квантов, попавших в детектор, а на число гамма-квантов, вылетевших из источника g- квантов.
  6. VIII. Состав и назначение основных элементов персонального компьютера.
  7. А- число протонов + нейтронов ( или атомная масса ) Z- числопротонов ( равно числу электронов ).
  8. Алгебра множеств
  9. Алгоритм вычислительной реализации этих трех элементов рассмотрим на следующем примере.
  10. Алгоритм Магу для определения множества внешней устойчивости.
  11. Биогеохимические циклы наиболее важных биогенных элементов.
  12. Биогеохимические циклы основных биофильных элементов.




studopedia.su - Студопедия (2013 - 2017) год. Не является автором материалов, а предоставляет студентам возможность бесплатного обучения и использования! Последнее добавление ip: 54.145.101.33
Генерация страницы за: 0.091 сек.