Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условная вероятность




Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А+В) = Р(А)+Р(В).

Пример. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

Решение. Появление цветного шара означает появление либо красного, либо синего шара. Вероятность появления красного шара (событие А) Р(А)==. Вероятность появления синего шара (событие В) Р(В)==. События А и В несовместны, поэтому по теореме сложения Р(А+В)= +=.

Определение. Два события называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого.

Например, вероятности поражения цели каждым из двух орудий не зависят от того, поразило ли цель другое орудие, поэтому данные события независимы.

Теорема умножения вероятностей для независимых событий. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Р(АВ) = Р(А)×Р(В).

Пример. Найти вероятность совместного поражения цели двумя орудиями, если вероятность поражения цели первым орудием (событие А) равно 0,8, а вторым (событие В) – 0,7.

Решение. Р(АВ) = Р(А)×Р(В)=0,7×0,8=0,56.

Определение. События называют совместными, если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же испытании.

Например, А– появление четырех очков при бросании игральной кости и В – появление четного числа очков. События А и В – совместные.

Теорема сложения вероятностей совместных событий. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Р(А+В) = Р(А)+Р(В)– Р(АВ).

Пример. Найти вероятность попадания при одном залпе (из обоих орудий) хотя бы одним из орудий, если вероятности попадания в цель первого и второго орудий соответственно равны: р1=0,7; р2=0,8.

Решение. Вероятность события АВ (оба орудия дали попадание) Р(АВ)=0,7×0,8=0,56. Искомая вероятность Р(А+В)=0,7+0,8–0,56=0,94.

Определение. Условной вероятностью РА(В) называют вероятность события В, найденная при условии, что событие А уже наступило.

Условная вероятность находится по формуле: РА(В)=.

Пример. В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании (событие В), если при первом испытании был извлечен черный шар (событие А).

Решение. После первого испытания в урне осталось 5 шаров, из них 3 белых. Искомая вероятность РА(В)=. Этот же результат можно получить по формуле РА(В)=. Вероятность появления белого шара при первом испытании Р(А)==. Найдем вероятность Р(АВ) того, что при первом испытании появится черный шар, а во втором – белый. Общее число исходов – совместного появления двух шаров равна числу размещений =6×5=30. Событию АВ благоприятствуют 3×3=9 исходов. Следовательно, Р(АВ)==. Тогда искомая условная вероятность РА(В)= := .

 

Теорема умножения вероятностей для зависимых событий. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

Р(АВ)=Р(А)×РА(В)

Пример. У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял один валик, а затем второй. Найти вероятность того, что первый из взятых валиков – конусный, а второй – эллиптический.

Решение. Вероятность того, что первый валик окажется конусным (событие А) Р(А)= . Вероятность того, что второй валик окажется эллиптическим (событие В), вычисленная в предположении, что первый валик конусный, т.е. условная вероятность РА(В)=. По теореме умножения, искомая вероятность Р(АВ)= ×=.

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-06; Просмотров: 1911; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.012 сек.