КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Точки разрыва II рода
1. Если или то х 0 – точка разрыва, который называется бесконечный скачок. В этом случае прямая является вертикальной асимптотой. 2. Если односторонние пределы в точке х 0 не существуют (не определены), то х 0 – точка неопределенности. Для того чтобы исследовать функцию на непрерывность, необходимо ответить на вопросы: 1) где функция непрерывна; 2) какие точки являются точками разрыва; 3) какой характер разрыва в этих точках?
Пример 1. Пользуясь определением непрерывности доказать, что функция непрерывна всюду на R. Решение. Докажем непрерывность этой функции в произвольной точке . Пусть – приращение аргумента в точке х 0. Соответствующее приращение функции имеет вид: Вычислим предел приращения функции, когда приращение аргумента стремится к нулю: Получили, что что и означает непрерывность функции на всей числовой прямой, так как х 0 – произвольная действительная точка.
Пример 2. Найти точки разрыва функции и исследовать их характер. Построить схематически график функции в окрестности точек разрыва: 1) 2) Решение. 1) Функция определена на всей числовой прямой, кроме х = 4. Данная функция является элементарной, следовательно, она является непрерывной в каждой точке своей области определения. Поэтому единственной точкой разрыва является точка х = 4, в которой функция не определена. Для определения типа разрыва в этой точке вычислим односторонние пределы функции:
Приходим к выводу, что – точка разрыва II рода (бесконечного скачка). График функции в окрестности точки представлен на рис. 16.1. 2) Точкой разрыва данной функции является точка Вычислим односторонние пределы заданной функции в точке
Рис. 16.1
Получили, что оба односторонних предела существуют (и конечны), но не равны между собой. Поэтому – точка разрыва I рода (скачка) – рис. 16.2. Заметим, что скачок равен:
Рис. 16.2
Пример 3. Дана функция Исследовать ее на непрерывность и разрыв. Построить график. Решение. На промежутках заданы аналитические выражения элементарных функций, которые определены и, следовательно, непрерывны на каждом промежутке. Поэтому точками, «подозрительными на разрыв», являются точки и Вычислим односторонние пределы функции в точке Так как функция при то
Так как функция при то
Вычислим значение функции в точке
Таким образом, условия непрерывности функции в точке –1 выполнены. Поэтому в точке разрыва нет. Вычислим односторонние пределы функции в точке Так как функция при то
Так как функция при то
Получили, что – точка разрыва I рода (скачка). Значит, функция непрерывна всюду на числовой прямой кроме точки (рис. 16.3), в которой она имеет скачок, равный 1.
Рис. 16.3
Пример 4. Дана функция Определить, при каком значении параметра а функция является непрерывной. Решение. Данная функция определена на всей числовой прямой. Область определения разбивается точкой на два промежутка: и На каждом из них задана элементарная функция и соответственно. Для непрерывности заданной функции f (x) на необходимо наличие непрерывности в точке т. е. должно выполняться равенство Вычислим односторонние пределы функции в точке Найдем значение функции в точке Следовательно, должно выполняться равенство Из него получаем При функция примет вид: и будет непрерывной на всей числовой прямой.
Пример 5. Используя свойства непрерывных функций, доказать, что уравнение имеет хотя бы один корень в промежутке
Решение. Рассмотрим функцию Она непрерывна на отрезке как сумма элементарных функций. Вычислим значения функции на концах отрезка: Получаем, что функция на концах отрезка принимает значения разных знаков, потому существует точка в которой функция обращается в нуль, т. е. Другими словами, точка х будет являться корнем уравнения
Пример 6. Решить неравенство Решение. Решим это неравенство, используя свойства непрерывных функций. Заданное неравенство равносильно следующему: Функция определена и непрерывна на промежутке Найдем точку, в которой эта функция обращается в нуль. Для этого решим уравнение Получим два решения и В точках и функция определена, непрерывна и выполняется равенство Поэтому на каждом из промежутков (1; 6), (6; 15) функция сохраняет свой знак. Чтобы определить этот знак, достаточно вычислить значение функции в какой-либо одной точке для каждого промежутка. Пусть На этой полуоси выберем точку и вычислим значение функции: Полученное значение положительно и не удовлетворяет условию (по условию: меньше нуля). Пусть Вычислим f (0): Следовательно, на промежутке (– 1; 6) функция принимает отрицательные значения. Пусть теперь Выберем и вычисляем: На промежутке (6; 15) функция также отрицательна. Поэтому решением данного неравенства является Задания
Дата добавления: 2014-01-06; Просмотров: 757; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |