Графическое решение уравнений

Постановка задачи

Пусть дано уравнение

f (x) = 0, (11.1)

где функция f (x) определена и непрерывна в конечном или бесконечном интервале a < x < b.

Всякое значение ξ, обращающее функцию f (x) в нуль, то есть такое, что f (ξ) = 0, называется корнем уравнения (4.1) или нулем функции f (x). Предположим, что уравнение (4.1) имеет лишь изолированные корни, то есть для каждого корня существует окрестность, не содержащая других корней этого уравнения.

Приближенное нахождение изолированных действительных корней уравнения (4.1) складывается обычно из двух этапов:

1. Отделение корней, то есть установление возможно тесных промежутков [α, β], в которых содержится один и только один корень исходного уравнения (4.1).

2. Уточнение приближенных корней, то есть доведение их до заданной степени точности.

Действительные корни уравнения f (x) = 0 приближенно можно определить как абсциссы точек пересечения графика функции y = f (x) с осью ОХ (см. рис. 4.1, а). На практике часто бывает удобнее уравнение (4.1) заменить равносильным ему уравнением

, (11.2)

где функции φ(x)и ψ(x) более простые, чем функция f (x ). Тогда, построив графики этих функций, искомые корни получим как абсциссы точек пересечения этих графиков (смотри рис. 4.1, б).

а) б)

Рис. 11.1. Графический метод нахождения корней уравнения.

Дата добавления: 2014-01-06