Признаки монотонности функции

Правило Лопиталя

Правило Лопиталя

ПРИЛОЖНЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ

Национального Исследовательского Иркутского государственного

Издательство

Дифференциальные уравнения

Переменных. Интегралы.

Конспект лекций за 2-й семестр для технических

специальностей

технического университета

Рецензент: канд. физ.-мат. наук, доцент А.В. Колокольчиков

Приложения производной. Функции нескольких переменных. Интегралы. Дифференциальные уравнения. Конспект лекций за 2-й семестр для технических специальностей./ Сост. В.А.Труппова, Б.В. Агалаков. – Иркутск: Изд-во НИ ИрГТУ, 2011. 92с.

Работа содержит материал лекций, прочитанный для студентов первого курса во втором семестре факультетов строительного и кибернетики. Эти разделы математики изучаются и на всех специальностях нашего университета, работа может быть использована преподавателями и студентами всех специальностей в процессе изучения математики. Настоящий конспект является продолжением конспекта лекций, изданного в 2010 году за 1-й семестр.

Чистая математика в своём современ-

ном развитии может претендовать

на положение наиболее оригиналь-

ного творения человеческого разума

Альфред Уайтхед

ЛЕКЦИЯ 1. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях.

Теорема Ферма. Если функция f(x) определена в (,b) и принимает в некоторой точке x = c наименьшее или наибольшее значение, то

Геометрически. y

= k_AB =tg M B f’(c) = tg = k_кас.

Касательная хорде. А

0 c b x

Теорема Коши. Если функции f(x) и непрерывны на [ и дифференцируемы во всех внутренних его точках, причём найдётся точка с, что имеет место равенство

Теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши.

Теорема. Если f(x) и - дифференцируемые функции на[, удовлетворяют условиям теоремы Коши и обращаются в нуль в точке x =, то есть f(=, тогда

Доказательство. Возьмём на [ точку x, применим теорему Коши

,, [, так как f(, то, если x, поэтому ч.т.д.

Замечание. Эта теорема справедлива и при x x применяется для раскрытия неопределённостей вида,

Примеры. Вычислить пределы.

1).

2).

3)..

4). Обозначим y =; логарифмируем обе части последнего равенства ]=.

= →

y =

Ответ. = 1

ЛЕКЦИЯ 2. Исследование поведения функций и построение графиков

Определение. Функция y = f(x), определённая в сегменте или интервале называется возрастающей, если из неравенства x₂ > x₁, следует f(x₂) > f(x₁).

x₂ – x₁ =; f(x₂) – f(x₁) =;, в этом случае.

Определение. Функция y = f (x) называется убывающей в интервале, если для любых x₁, x₂ из этого интервала x₂ < x₁, следует f(x₂) > f(x₁).

В этом случае < 0.

Определение. Функции только убывающие и только возрастающие на интервале называются монотонными.

Дата добавления: 2014-01-06