Частные производные

Переменных. Предел функции двух переменных.

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Комбинированный метод

Теорема 1. (Необходимое условие возрастания функции.)

Если дифференцируемая в () функция y = f(x) возрастает, то её производная f’(x) для всех x из ().

Доказательство. Пусть y = f(x) возрастает на (),тогда для любых точек x и x+ выполняется >0, <0, по предположению, то есть = x – b,

отсюда находим x = b -, b₂ = b₁ -.

Процесс продолжают до тех пор пока <.

Пусть требуется решить уравнение f (x) = 0, корень уравнения находится в интервале [; f(< 0; f(x)>0, f’’(x) >0; f’(x) и f’’(x) на этом интервале сохраняют свои знаки.

= – b₁ = b –

- - - ---------------------------------------------

B₁ = - f()

0 x₀ b₁ b x = - = 2 - 1,94.

f(1,9) = - 0,53; f(1,94) = 0,065. Можно взять интервал [1,9; 1,94].

f’(1,94) = 15,172. = 1,9 – 1,936; = 1,94 –, = h, так как x = ht + x₀ dx = h dt, подставляем в производную

f’(x)]

f’’(x).

Пример. Найти 1-ю и 2-ю производные при x = 0,15 от функции, заданной таблицей x y

0 2000

0,1152

0,1 2,1152 0,0310

0,1462 0,0013

0,2 2,2614 0,0323

0,1785 0,0011

0,3 2,4399 0,0334

0,2119

0,4 2,6518

0,1<x<0,2; x₀ =0,1; t =;

f’(0,15)

1,4616

f’’ (0,15)

Интерполирование в конце и в середине таблицы

Если точка интерполирования лежит в близи точки x_n или где – то справа от неё, тогда узлы интерполирования следует брать в порядке x_n,x_n –h, x_n -2h,…

Формула Ньютона запишется так:

f(x) = y_n +; x_n-1<x<x_n.

Если точка интерполирования лежит внутри таблицы, то формула Ньютона –

- Бесселя.

f(x)=+

ЛЕКЦИЯ 7. Определение, способы задания, графики функции двух

В данном разделе мы ограничимся рассмотрением функций двух переменных, так как они чаще всего встречаются при дальнейшем освоении студентами программ по различным дисциплинам в нашем вузе.

Определение. Функцией двух переменных называется правило, по которому каждой паре чисел (x,y) соответствует единственное число z

При этом x и y называются независимыми переменными (аргументами), z – зависимой переменной (функцией), множество М – областью определе - ния, а L – множество значений функции.

Обозначается z = f (x,y) или z =

Определение. Множество пар (x,y) значений x и y, при которых определяет

ся функция z = f (x,y), называется областью определения или областью существования этой функции.

Область определения функции наглядно иллюстрируется геометрически. Если каждую пару значений x и y изображать точкой M(x,y) в плоскости oxy, то область определения функции изобразится в виде некоторой совокупности точек на плоскости.Эта совокупность и есть область определения функции обозначим её D.

S

0 y

D

..M

x

Линия,ограничивающая данную область называется границей области. Точки области,не лежащие на границе, называются внутренними точками области. Область, состоящая из одних внутренних точек, называется открытой или незамкнутой. Если же к области относятся и точки границы,то область называ-ется замкнутой. Область называется ограниченной, если существует такое постоянное С, что расстояние любой точки М области от начала коор-

динат меньше С, то есть < C.

Пример 1. Определить область существования функции z =.

Решение. Чтобы z имело действительное значение, нужно, чтобы под корнем стояло неотрицательное число, то есть x и y должны удовлетворять неравенству 1 - или на плоскости это круг – замкнутая область, рисунок 1.

Пример 2. Определить область существования функции z =

Решение. Логарифмы существуют только для положительных значений, поэтому x+y>0 или y > -x - открытая область, так как граница не принадлежит области рисунок 2.

y

y

x 0 x

Рис.1 Рис.2

Замечание. Чтобы проверить правильность результата надо подставить координаты произвольной точки из области существования в соответствующие неравенства.

Способы задания функции

1. Аналитический, с помощью формул, как в примере 1 и 2.

2. Табличный.

x y 0 1 2 3 4 5 Здесь z – значение относительной

влажности в зависимости от тем-

0 100 81 63 45 28 22 пературы x в градусах и разности

1 100 83 65 48 32 30 y сухого и влажного термомет- 2 2 100 84 68 51 35 28 ров. Пусть x = 3; y = 2, тогда z =

3 100 84 54 39 29 69.

4 100 85 70 56 42 35

Дата добавления: 2014-01-06