Свойства непрерывных функций

Предел функции двух переменных

График функции двух переменных

Определение. Графиком функции двух переменных z = f(x,y) в д.с.к. является поверхность. Это геометрическое место точек, удовлетворяющих уравнению F(x,y,z) = 0 или z = f(x,y).

Примерами графиков функции двух переменных являются цилиндры, конические поверхности, параболоиды, гиперболоиды, эллипсоиды.

Пусть дана функция z = f (x,y), определённая в некоторой области D плоскости oxy. Рассмотрим некоторую определённую точку М₀ (x₀,y₀), не лежащую на её границе.

Определение. Окрестностью радиуса r точкиМ₀ (x₀,y₀) называется совокупность точек М (x,y), удовлетворяющих неравенству то есть совокупность всех точек, лежащих внутри круга радиуса r с центром в точке М₀ (x₀,y₀), (x – x₀)² + (y- y₀)² < r².

y

D

0 x

Определение. Число А называется пределом функции f(x,y) при стремлении точки М (x,y) к точке М₀ (x₀,y₀), если для каждого малого числа найдётся такое число r>0, что для всех точек М (x,y), для которых выполняется неравенство ММ₀ < r, имеет место неравенство. Записывается это так

Короче в символах это определение можно записать так: число А называется пределом функции z = f (x,y) при М (x,y) (x₀,y₀), если, для которых ММ₀ < r,.

Пример. Вычислить предел.

Решение. Обозначим x² +y² =, тогда при x. Подставим = 2.

Определение. Функция z = f (x,y) называется непрерывной в точке М₀ (x₀,y₀), если имеет место равенство

(1)

В равенстве (1) обозначим x = x₀ +; y = y₀ +, то (1) можно переписать так, окончательно

Вывод. Бесконечному малому приращению аргументов соответствует бесконечно малое приращение функции.

Определение. Функция, непрерывная в каждой точке области D, называется непрерывной в области.

Если в некоторой точке N₀ (x₀ ,y₀)не выполняется условие (1), то точка N₀ (x₀

,y₀) называется точкой разрыва функции z = f (x,y). Например 1). Z =, точка (0,0) – точка разрыва. 2). Z =, 2x+y+1 =0 – целая прямая точек разрыва.

1. Если функции z₁,z₂ непрерывны в точке Р₀, то в этой точке непрерывны и их сумма, произведение, частное.

2. Если функция f (x,y) определена и непрерывна в замкнутой и ограниченной области D, то в D найдётся по крайней мере одна точка N(x₀,y₀) такая, что М(x,y) выполняется условие f(x₀,y₀) f(x,y) и, по крайней мере, одна точка,, что f (.

Значение f(x₀,y₀) = M называется наибольшим значением функции в области D, а f() = m называется наименьшим значением функции в D.

3.Если функция f(x,y) непрерывна в замкнутой области D и принимает, как положительные, так и отрицательные значения, то внутри области найдутся точки, в которых функция f(x,y) обращается в ноль.

Частное и полное приращение функции z = f (x,y)

Рассмотрим линию PS пересечения поверхности z =f (x,y) с плоскостью y = сonst, параллельной плоскости OXZ. Так как в этой плоскости y сохраняет постоянное значение, то z вдоль кривой PS,будет меняться только в зависимости от изменения x. Дадим независимой переменной приращение тогда z получит приращение, называемое частным приращением z по x

и обозначается

z p

f(x,y)

0 y

Отрезок РР₁ =

x

Если x сохраняет постоянное значение, а y получает приращение, то z получает приращение, называемое частным приращением по y.

x = const

S=z(x,y)

M Отрезок МТ₁ =

T₁

0 y

X

Если сообщить аргументу x, y, то получим полное приращение

z

Р

Р₁ PP₁ =

0 y

x

Надо заметить, что Это видно из рисунков. Подтвердим аналитически.

Пример. Записать частные и полное приращения функции z = xy.

Решение.;;

.

Дата добавления: 2014-01-06