Основные уравнения электродинамики в комплексной форме

При передаче информации посредством ЭМ поля описывающие его векторы меняются во времени. Мгновенные значения векторов поля Е(p,t), D(p,t), Н(p,t), В(p,t), вектора плотности тока j(p,t) и плотности заряда можно представить в виде интегралов Фурье (прямого преобразования Фурье). Обозначим мгновенное значение любого из векторов ЭМ поля через a(p,t). Тогда применяя к нему преобразование Фурье, получаем:

(31)

где -комплексная амплитуда, или спектральная плотность соответствующего вектора, -частота, i- мнимая единица.

Подставляя значения преобразований Фурье векторов поля в первое уравнение Максвелла, меняя последовательность выполнения операций ротора и дифференцирования по времени, учитывая, что , умножим результат на множитель , где -фиксированная частота. Этот множитель можно внести под знак интеграла. Выполним интегрирование полученного выражения по переменной t в пределах от до . Получаем, меняя порядок интегрирования и сокращая множитель :

Учитывая здесь, что интеграл по времени есть интеграл Фурье -функции и сокращая множитель 2, имеем:

Применяя при интегрировании по со основное свойство -функции, получаем:

, откуда, возвращаясь к частоте (выполнив замену ), имеем:

(32)

Применив аналогичные операции к остальным трем уравнениям Максвелла, получаем

, (33)

,

Систему уравнений (32), (33) называют системой уравнений Максвелла в комплексной форме (уравнениями Максвелла для комплексных амплитуд).

Предположим, что в линейной изотропной среде отсутствуют диэлектрический и магнитный гистерезисы. Использовав при этом преобразования Фурье для D(p,t), В(p,t), , Е'(р,г) и j(p,t), получаем материальные уравнения в комплексной форме (для комплексных амплитуд):

(34)

; (35)

где считается, что в случае задания сторонней напряженности поля .

Применимость материальных уравнений в простой форме ограничена, так как в них не учитывается явление запаздывания во времени электрической поляризации и намагничивания, наблюдаемые в веществах на высоких частотах (частотная дисперсия).

Так как в общем виде , , , то находим тем же путем закон сохранения электрического заряда в комплексной форме (для комплексных амплитуд):

; (36)

Многие задачи возбуждения ЭМ поля изучаются при одинаковых параметрах сред в области источника и в объеме . Тогда , , и , ,

, . Сторонние токи заданы при этом в области и закон Ома имеет одинаковый вид во всем объеме V

, (37)

Подставляя материальные уравнения , получаем уравнения Максвелла для комплексных амплитуд векторов напряженностей поля:

(38)

где — абсолютная комплексная диэлектрическая проницаемость среды (не является комплексной амплитудой).

В первом уравнении Максвелла слагаемое описывает плотность тока смещения . Второе слагаемое — это плотность тока проводимости. Если в веществе плотность тока проводимости намного больше плотности тока смещения, т.е. , то вещество называют проводником. Если в веществе плотность тока проводимости намного меньше плотности тока смещения, т.е. , то вещество называют диэлектриком. Таким образом, одно и то же вещество на разных частотах может быть диэлектриком, проводником и полупроводником.

При математическом моделировании применяются понятия идеального проводника и идеального диэлектрика. Если = 0, то ток проводимости отсутствует, вещество— идеальный диэлектрик. Если вещество называют идеальным проводником. Для него

.

Если тело считается идеальным диэлектриком, то джоулевы потери в нем отсутствуют поскольку = 0. Если тело считается идеальным проводником, то ЭМ поле в него не проникает, т.е. ,

Магнитное поле не изменяется ни при каких физических процессах в теле. Это значит, что внутри идеального проводника переменное во времени магнитное поле существовать не может. Таким образом, в идеальном проводнике , Поэтому, тело идеальной проводимости, находящееся в ЭМ поле, джоулевых потерь в поле не вносит.

5. Учтем явление гистерезиса в линейных изотропных средах. Если в выражениях, изученных ранее применить преобразования Фурье для векторов ЭМ поля и для функций , под знаком интеграла, то умножая результат на и интегрируя полученное выраже­ние по t от до , учитывая значение интеграла Фурье -функции, получаем:

; ; (39)

где и являются комплексными функциями частоты.

Учитывая, что , где , , получаем при отсутствии линейного магнитного гистерезиса:

(40)

; ;

Если ее представить в показательной форме: , то называется тангенсом угла — электрических потерь. Он определяется отношением активной части плотности тока в веществе к его реактивной части.

При отсутствии линейного электрического гистерезиса = 0 имеем т.е. тангенс угла электрических потерь при этом определяется только отношением плотностей токов проводимости и смещения.

Проводимости проводников и диэлектриков могут отличаться на много порядков. Проводимости металлов (серебра, латуни, меди, железа и др.) превосходят проводимости хороших диэлектриков (полистирола, слюды) на 18-22 порядка в широком диапазоне частот. На рис. 2 приведены (экспериментальные) графики зависимостей проводимостей и относительных диэлектрических проницаемостей от частоты / для глины (1), песка (2), пресной (3) и морской (4) воды при температуре 20° С (В[ — влажность 4%, В₂ — влажность 15%). Как видно из графиков, диэлектрическая проницаемость и удельная проводимость, кроме частоты, зависят от температуры и влажности вещества.

Рис.2 Графики частотной зависимости 1

Дата добавления: 2014-01-06