Двоичная система счисления

Позиционные системы чисел

Понятие системы счисления

Система счисления - это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам, с помощью символов некоторого алфавита.

Символы алфавита, который используют для записи чисел, называют цифрами.

Цель создания системы счисления- выработка наиболее удобного способа записи количественной информации.

Удобная система счисления должна обладать следующими свойствами:

простота и краткость записи на материальном носителе.

1. однозначность представления

2. удобство выполнения арифметических операций над числами в предложенной записи

3. легкость и наглядность обучения основам работы с числами.

Системы счисления, которые использовали ранее, и которые используются в настоящее время можно разделить на две большие группы: позиционные и непозиционные.

В позиционных системах счисления значение цифры зависит от ее положения в записи числа, в непозиционных - значение цифры не зависит от ее положения в записи числа.

Обозначения: p – основание системы счисления, n – число разрядов (позиций) под число.

Системы счисления, в которых вклад каждой цифры в величину числа зависит от положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число, называются позиционными

Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая - 7 единиц, а третья - 7 десятых долей единицы.

Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись выражения

700 + 50 + 7 + 0,7 = 7∙10 2 + 5∙10 1 + 7∙100 + 7∙10-1 = 757,7.

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.

Основание позиционной системы счисления - это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе, определяет, во сколько раз различаются значения цифр соседних разрядов числа.

Таблица 1

Основания различных систем счисления

Основание	Используемые цифры
	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
	0, 1
	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A(10), B(11), C(12), D(13), E(14), F(15)

При рассмотрении позиционных систем важным является понятие базиса системы счисления

Базис позиционной системы счисления - это последовательность (совокупность) чисел, каждое из которых задает значение цифры "по месту" или "вес" каждого разряда.

Таблица 2

Базисы различных систем счисления

Основание	Базисы по разрядам
Номера разрядов
	10^0	10^1	10^2	10^3	10^4	10^5
					?
		?
				?

Компьютеры используют двоичную систему потому, что она имеет ряд преимуществ перед другими системами:

1. для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (есть ток - нет тока, намагничен - не намагничен и т.п.), а не, например, с десятью, - как в десятичной;

2. представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;

3. возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации;

4. двоичная арифметика намного проще десятичной.

Недостаток двоичной системы - быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел.

5.4. Процедура перевода десятичных чисел в p-арную систему счисления:

1. Перевести отдельно целую часть числа х, для чего последовательно делить сперва целую часть [x]₁₀, а затем все частные (получаемые при делении) на р до тех пор, пока не получим в очередном частном число меньшее p; изображение [x]_p получается последовательным приписыванием к последнему частному остатков от деления – от последнего до первого;

2. Перевести отдельно дробную часть (мантиссу) числа, то есть {x}₁₀, для чего последовательно умножать сперва исходную мантиссу, а затем мантиссы получаемых чисел на p до тех пор, пока не получим мантиссу, равную нулю, или нужное количество цифр в {х}_p;

3. изображение {х}_p получается приписыванием к целой части первого произведения второй такой же цифры и т.д., до последней цифры целой части;

4. Результат будет иметь вид:

(х)_p = [х]_p, {х}_p.

Дата добавления: 2014-01-06