Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Логическое следование




Получение СКНФ и СДНФ с помощью таблиц истинности

Известно, что для каждой формулы алгебры высказываний можно составить таблицу истинности. А можно ли по заданной таблице истинности найти соответствующую ей формулу? Оказывается, эта задача также всегда разрешима с помощью СДНФ или СКНФ.

Пусть, например, дана таблица истинности некоторой, неизвестной пока формулы F, содержащей переменные x, y, z:

x y z F (x,y,z)
       
       
       
       
       
       
       
       

 

 

Выделим строки, в которых значение формулы равно 1. Это строки 1, 4 и 8. Для каждой из выделенных строк составим конъюнкцию переменных или их отрицаний так, чтобы наборам значений переменных в выделенных строках соответствовали истинные конъюнкции. Для этого переменные, под которыми в соответствующей строке стоит 0, взять со знаком отрицания, а переменные над 1 – без отрицания.

В результате получим конъюнкции:

Для 1 строки: ; для 4 строки: ; и для 8 строки: .

Дизъюнкция этих конъюнкций и есть искомая формула:

.

Тот факт, что полученная формула действительно соответствует данной таблице истинности, легко проверить. Действительно: если формула F истинна, то и дизъюнкция истинна, так как истинна одна из составляющих ее конъюнкций. Если формула F ложна, то ложна и дизъюнкция, так как ложна каждая из составляющих ее конъюнкций.

Подобным образом можно составить формулу для всякой таблицы истинности, в последнем столбце которой есть хотя бы одна единица. Очевидно, что одну и ту же таблицу истинности имеет множество равносильных формул.

Формула, которая получается в результате применения описанного способа, является совершенной дизъюнктивной формой данной формулы и всех формул с теми же переменными, ей равносильных.

Так как для любой формулы можно составить таблицу истинности, и притом, единственную, то всякая формула, не являющаяся тождественно ложной, имеет СДНФ и притом единственную.

Формулу, соответствующую данной таблице истинности, можно составить и другим способом, а именно:

1) выделить те строки в таблице истинности, в которых искомая формула принимает значение 0;

2) для каждой из выделенных строк составить дизъюнкцию переменных или их отрицаний так, чтобы каждая переменная вошла в дизъюнкцию только один раз (со знаком отрицания или без него) и чтобы наборам значений переменных, записанным в этих строках, соответствовали ложные дизъюнкции;

3) составить из полученных дизъюнкций конъюнкцию.

В результате для данной таблицы получится формула:

, которая является совершенной конъюнктивной нормальной формой данной формулы и всех равносильных ей формул.

Каждая формула, не являющаяся тавтологией, имеет СКНФ и притом единственную.

Таким образом, все множества равносильных формул с одними и теми же переменными, не являющимися тавтологиями или противоречиями, имеют по два «представителя» стандартного вида: СКНФ и СДНФ.

Множества тавтологий и противоречий имеют по одному «представителю» стандартного вида – соответственно СДНФ и СКНФ.

 

Вопросы для контроля:

1. Конъюнктивная и дизъюнктивная нормальная форма.

2. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма, ее характерные признаки.

3. Совершенная конъюнктивная нормальная форма, ее характерные признаки.

4. Приведение к СДНФ или СКНФ с помощью равносильных преобразований.

5. Получение СДНФ и СКНФ по таблице истинности произвольной формулы.

6. Единственность СДНФ и СКНФ для формул алгебры высказываний.

Раздел 4. Логическое следование

Определение 1. Формула B называется логическим следствием формул A1, A2, …, An, если при любых значениях, входящих в них, элементарных высказываний формула B принимает значение истинно всякий раз, когда формулы A1, A2, …, An принимают значение истинно. Обозначается A1, A2, …, An ╞ B

Из определения логического следования вытекает:

1. Тавтология логически следует из любой формулы.

2. Из противоречия логически следует любая формула.

Теорема 1. Из A логически следует B тогда и только тогда, когда тавтологией является AB.

Теорема 2. A1, A2,…, An╞ B тогда и только тогда, когда является тавтологией A1&A2& …& An B.

Теорема 3. Из формул A1, A2,…, An, B логически следует C тогда и только тогда, когда из формул A1, A2, …, An логически следует BC.

Следствие 1. Из A и B логически следует C тогда и только тогда, когда тавтологией является A (BC).

Следствие 2. Из формул A1, A2, …, An логически следует B тогда и только тогда, когда тавтологией является A1 (A2 … (AnB)…).

Отношение логического следования играет в математике большую роль.

Если из AB, то A называется достаточным условием для B, а B – необходимым условием для A.

Если вместе с AB из BA, то A называется необходимым и достаточным условием для B, а B – необходимым и достаточным условием для A.




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-06; Просмотров: 350; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.015 сек.