Общая постановка задачи исследования операции

Все факторы, входящие в описание операции, можно разделить на две группы:

• постоянные факторы (условия проведения операции) α₁, α₂, …, на которые влиять не может;

• зависимые факторы (элементы решения) x ₁, x₂, …, которыев известных пределах исследователь может выбирать по своему усмотрению.

Целевая функция Z зависит от факторов обеих групп:

Оптимизационную задачу можно сформулировать в общем виде: найти переменные x ₁, x₂, … x_n, удовлетворяющие системе неравенств

(1.1)

и обращающие в максимум (или минимум) целевую функцию, т.е.

(1.2)

Условия неотрицательности переменных, если они есть, входят в ограничения (1.1). Эти условия определены физической сущностью переменных.

Как известно, упорядоченная совокупность значений п переменных x ₁, x ₂, …, x_n представляется точкой n -мерного пространства. В дальнейшем эту точку будем обозначать , а само оптимальное решение .

Частным случаем общей задачи (1.1) - (1.2) на определение экстремума функции п переменных при некоторых ограничениях, т.е. задачей на условный экстремум, является классическая задача потребления.

Пусть имеется п видов товаров и услуг, в количестве x ₁, x ₂, …, x_n по ценам соответственно p ₁, p ₂, …, p_n за единицу. Суммарная стоимость этих товаров и услуг составляет Уровень потребления Z может быть выражен некоторой функцией полезности Необходимо при данной величине доходов I найти такой набор товаров и услуг x ₁, x ₂, …, x_n, чтобы обеспечить максимальный уровень потребления, т.е.

(1.3)

при условии (1.4)

(1.5)

Решения этой задачи, зависящие от цен p ₁, p ₂, …, p_n и величины дохода I, называются функциями спроса.

В тех случаях, когда функции f и φ _i в задаче (1.1) - (1.2) хотя бы дважды дифференцируемы, можно применять классические методы оптимизации. Однако применение этих методов в исследовании операций весьма ограниченно, метод дает возможность определить локальный экстремум, а из-за многомерности функции определение ее максимального (или минимального) значения (глобального экстремума) может оказаться трудоемким, причем экстремум возможен на границе области решений. Классические методы не работают, если множество допустимых значений аргумента дискретно или функция Z задана таблично. В этих случаях для решения задачи применяются методы математического программирования.

Дата добавления: 2014-01-06