Временные характеристики САУ. Понятие о функции Грина

Для описания нелинейных детерминированных систем очень полезным является понятие функция Грина.

Пусть L представляет собой операторы дифференцирования, интегрирования и умножения на константу.

Например: ;

где - выходной процесс, - входной процесс, a₀, a₁, a₂ - постоянные коэффициенты. Это линейные уравнения второго порядка. Видно, если - является решением уравнения , то - также решением. Если y и z - решения уравнения, то и , то есть

y+ z - также являются решением.

Рассмотрим x₁ решение уравнения и решение x₂ решение уравнения . Тогда . Это наш первый и очень полезный результат, из которого вытекает следующее очень важное заключение:

Любое сложное входное воздействие можно представить в виде суммы составляющих, для каждой из которых уравнение можно решить отдельно. Складывая их, можно получить решение, соответствующее полному входному воздействию .

1. то есть ;

Например - ряд Фурье.

2. можно выбрать и другой набор

Это импульсные функции единичной интенсивности. Отклик на такой импульс имеет характер затухающих колебаний.

Общее решение получается в результате интегрирования по всем откликам, соответствующим импульсам, которые образуют входное воздействие. В этом заключается идея метода функций Грина.

Понятие функции Грина

Чтобы решить уравнение , где L= p линейный дифференциальный оператор. Предположим, что мы нашли оператор, обратный к L (обозначим его через L^-1), такой что (где I - тождественный оператор). Например, если , то L^-1 является оператором интегрирования ; .

Для дифференциального оператора общего вида можно предположить, что

L^-1 представляет собой интегральный оператор с ядром , то есть

(6.26.)

Если найдено ядро G, то с помощью этого равенства можно найти решение дифференциального уравнения. Причем - это функция Грина, которая является очень полезным понятием. Это мы раскроем чуть позже.

Действуя вновь оператором по (1), получаем

(6.27.)

Поскольку оператор интегрирования и дифференцирования являются линейными, то их можно поменять местами. Тогда первая часть

(6.28.)

И поскольку слева, очевидно стоит , то получаем

(6.29.)

Известно, что должно иметь следующее соотношение

(6.30.)

Из уравнения (5) вытекает очень важный факт, что ядро , которое называется функцией Грина, удовлетворяет тому же дифференциальному уравнению, если входное воздействие заменить на d - функцию.

Оказывается функция Грина имеет простой физический смысл: это отклик на единичное импульсное воздействие

Простые системы типа "вход-выход" и функция Грина

x(t) y(t)

Система называется инвариантной во времени (или систем с постоянными параметрами), если входное воздействие возрождает отклик .

Если входным сигналам x₁(t) и x₂(t) соответствуют выходные сигналы y₁(t) и y₂(t) и при этом входной сигнал (а₁ и а₂ - константы) соответствует выходному сигналу - то система называется линейной.

при - условие физической реализуемости.

Для стационарных систем

.

Дата добавления: 2014-01-06