Машинная графика, математическое моделирование фи-зических процессов

Понятие модели. Классификация моделей

ЛЕКЦИЯ 4. Модели решения функциональных и вычис-лительных задач

Модели и моделирование используются человечеством с незапа-мятных времен. С помощью моделей и модельных отношений раз-вились разговорные языки, письменность, графика.

В настоящее время компьютерное моделирование в научных и практических исследованиях является одним из основных инстру-ментов познания. Навыки моделирования очень важны человеку в жизни. Они помогут разумно планировать свой распорядок дня, учебу, труд, выбирать оптимальные варианты при наличии выбора, разрешать удачно различные жизненные ситуации.

Модель это такой материальный или мысленно представляе-мый объект, который в процессе изучения замещает объект ори-гинал, сохраняя некоторые важные для данного исследования ти-пичные его черты.

Человек применяет модели с незапамятных времен при изучении сложных явлений, процессов, конструировании новых сооружений. Хорошо построенная модель, как правило, доступнее для исследо-вания, нежели реальный объект. Более того, некоторые объекты во-обще не могут быть изучены непосредственным образом: не допус-тимы, например, эксперименты с экономикой страны в познава-тельных целях; принципиально не осуществимы эксперименты с прошлым или, скажем, с планетами Солнечной системы и т. п.

Модель позволяет научиться правильно управлять объектом, ап-робируя различные варианты управления на модели этого объекта. Экспериментировать в этих целях с реальным объектом в лучшем случае бывает неудобно, а зачастую просто вредно или вообще не-возможно в силу ряда причин (большой продолжительности экспе-римента во времени, риска привести объект в нежелательное со-стояние). Процесс построения модели называется моделированием.

Различают материальное и идеальное моделирование.

При материальном моделировании реальному объекту противо-поставляется его увеличенная или уменьшенная копия.

От предметного моделирования принципиально отличается иде-альное моделирование, которое основано не на материальной ана-логии объекта и модели, а на аналогии идеальной, мыслимой.

Основным типом идеального моделирования является знаковое моделирование. Знаковым называется моделирование, использую-щее в качестве моделей знаковые преобразования какого-либо вида: схемы, графики, чертежи, формулы, наборы символов.

Создание модели связано с большей или меньшей степенью аб-страгирования от реальной системы. Степень абстрагирования зави-сит от целей моделирования.

Простейшим по уровню абстрагирования является класс физиче-ских моделей. Физической моделью называется установка, устройст-во или приспособление, позволяющее исследовать системы путем замещения изучаемого физического процесса подобным ему про-цессом той же или другой физической природы. При этом в порядке повышения уровня абстракции можно выделить три вида моделей: натурные, масштабные и модели аналоги.

Натурные модели это реальные изучаемые системы или их части. Общим критерием выбора класса или вида модели является минимум затрат на получение ресурсов на получение требуемой информации о системе или процессе при выполнении заданных ог-раничений на ее точность и достоверность. Такой подход ограничи-вает область применения натурных моделей. С одной стороны это системы, для которых в настоящее время в силу различных причин невозможно построить более абстрактную модель, обеспечиваю-щую требуемую точность и достоверность результатов моделирова-ния. С другой стороны системы, натурное моделирование кото-рых обходится дешевле, чем создание и исследование моделей бо-лее высокого уровня абстракции (как правило, это простые систе-мы), или уже существующие системы, для которых требуется уточ-нение характеристик или получение новых данных. В связи с моде-лированием больших (сложных) систем широкое распространение получило гибридное смешанное моделирование или испытание час-тей системы. Это вид моделей применяется в том случае, когда аб-страктное описание части системы не является удовлетворительным или отсутствует вовсе (например, модель человека-оператора) или когда часть системы должна быть промоделирована во взаимодей-ствии с остальными частями, но их еще не существует, либо их ис-пользование затруднено или дорого. В этом случае недостающие части системы могут быть заполнены моделями другого вида. На-турные модели отличает полная адекватность реальной системе и обусловленная этим высокая точность и достоверность результатов моделирования. Поэтому процесс проектирования оканчивается этапом натурных испытаний системы. Это не в коей мере исключа-ет использования на ранних этапах моделей любого другого вида для получения более широких возможностей исследования слож-ных систем.

Масштабные модели используются при исследовании сложных систем, для которых невозможно дать точное математическое опи-сание функционирования, а натурных образцов еще не существует, либо эксперименты, доставляющие интересующие сведения, с ними не допустимые. В этом случае может быть использована модель той же физической природы, что и изучаемая система, отличающаяся от натурного образца масштабами. Теоретической основой масштаб-ного моделирования является теория подобия, которая предусмат-ривает соблюдение геометрического подобия оригинала и модели и соответствующих масштабов для параметров. Для этого натурные значения параметров умножаются на постоянную величину, назы-ваемую масштабом моделирования или коэффициентом подобия. Условия подобия выполняются при равенстве критериев подобия безразмерных величин, являющихся комбинацией физических па-раметров модели и исследуемой системы.

Аналоговые модели принципиально отличаются от натурных и масштабных моделей тем, что процессы исходной системы изуча-ются на процессе-аналоге другой физической природы. Обязатель-ным условием при этом является выполнение физического подобия, под которым понимается однозначное соответствие между пара-метрами изучаемого объекта и его модели, выражающееся в тожде-ственности безразмерных математических описаний процессов, протекающих в них. Сходственные величины, характеризующие процесс, отличаются только масштабами и по характеристикам, полученным на модели, можно однозначно определить характеристи-ки оригинала. Аналоговая модель является моделью высокого уров-ня абстракции, так как для своего синтеза требует наличия матема-тического описания изучаемой системы, т. е. математической моде-ли. Особенностью аналоговых моделей является их безразличие к физической сущности моделируемого процесса, при одинаковом математическом описании. Это обстоятельство позволяет строить структурные аналоговые модели, блоки которых воспроизводят на основе математических уравнений отдельные этапы процесса, а по-сле их соединения воспроизводят весь процесс в целом. Развитие таких моделей привело к созданию универсальных аналоговых мо-делей аналоговых вычислительных машин. АВМ представляют собой специально сконструированные материальные системы (мо-дели), предназначенные для моделирования некоторого класса со-отношений между непрерывно изменяющимися физическими вели-чинами аналогами соответствующих исходных математических переменных решаемых задач. Такие АВМ называются моделями простой аналогии. Особенно широкое применение структурные АВМ получили для решения линейных и нелинейных дифференци-альных уравнений с заданными начальными условиями, однако они могут быть использованы и для решения ряда других задач. Основ-ными достоинствами АВМ является их простота, сравнительно ма-лая стоимость, высокое быстродействие, возможность решения за-дач, как в реальном, так и в масштабном времени. Недостатком яв-ляется сравнительно низкая точность, достаточная, впрочем, для большинства практических задач.

Последнее время большое распространение получили квазиана-логовые вычислительные машины, которые строятся, в отличие от АВМ, не на основе физического подобия, а на основе принципа эк-вивалентности, являющегося более общим. Этот принцип преду-сматривает эквивалентность уравнения модели и объекта только относительно решений, но не течения процессов. В этом случае уравнения модели и объекта, хотя бы частично не подобны. Это об-стоятельство позволяет расширить класс реализуемых математиче-ских моделей.

Стремление к повышению общности и универсальности моделей и методов моделирования требует повышения уровня абстракции. При этом самым абстрактным является символическое описание. В этом случае для описания системы вводятся специальные символы и устанавливаются правила оперирования с ними. Совокупность символов и правил пользования ими (грамматика) является абст-рактным языком. Некоторое высказывание, записанное на абст-рактном языке, образует формулу. В качестве примера абстрактных величин выступает язык математики. Математика при этом пред-ставляет собой целый класс абстрактных языков с различными грамматиками и различными уровнями абстракции (общности).

Математическая модель (ММ) представляет собой систему ма-тематических соотношений, описывающих изучаемый процесс или явление. Для составления ММ можно использовать любые матема-тические средства. Математическая модель выражает существенные черты объекта или процесса языком уравнений и других математи-ческих средств. Выбор вида ММ определяется целями моделирова-ния, так как рассмотрение модели на каком-либо уровне позволяет получить ответы на определенную группу вопросов, а для получе-ния другой информации необходима ММ другого вида, следова-тельно, уровня абстракции.

Цели моделирования определяют и ряд других особенностей мо-делей и методы их исследования. ММ можно классифицировать на детерминированные и стохастические. Первые устанавливают од-нозначное соответствие между характеристиками модели, а вторые между статистическими параметрами характеристик. Выбор того или иного вида модели обусловлен степенью необходимости учета случайных факторов.

Аналитические модели позволяют получить или явные зависимо-сти для искомых величин, или, в том случае, когда это не удается, определить численные решения для конкретных начальных условий и количественных характеристик модели. Для решения таких задач широко используются аналоговые и цифровые ЭВМ. Однако синтез аналитических моделей для больших систем, как правило, невозмо-жен. В связи с этим, в настоящее время широкое распространение получило имитационное моделирование, которое рассматривается как эксперимент со сложной математической моделью, описываю-щей поведение системы, реализуемой на ЭВМ.

Имитационная модель имеет следующие особенности: большую размерность по числу переменных и связей между элементами мо-дели; стохастический характер, ограничения различных типов, раз-личное математическое описание элементов модели.

Имитационное моделирование позволяет: экспериментально исследовать сложные внутренние взаимо-действия в рассматриваемой системе; изучать воздействие на функционирование системы инфор-мационных и организационных изменений и изменений ха-рактера взаимодействия с внешней средой; лучше понять систему, оценить поведение системы в новых ситуациях, проверять новые стратегии и правила принятия решения; проводить стохастическое моделирование, в частности мето-дом Монте-Карло.

Таким образом, имитационное моделирование ориентировано не только на исследование заданной модели, но и на идентификацию параметров и в этом смысле является аналогом натурного модели-рования.

4.2. Основные этапы моделирования Рассмотрим процесс компьютерного математического модели-рования, включающий численный эксперимент с моделью. Первый этап - определение целей моделирования. Основные из них таковы: 1) модель нужна для того, чтобы понять, как устроен конкретный объект, какова его структура, основные свойства, законы развития и взаимодействия с окружающим миром (понимание); 2) модель нужна для того, чтобы научиться управлять объектом (или процессом) и определить наилучшие способы управления при заданных целях и критериях (управление); 3) модель нужна для того, чтобы прогнозировать прямые и кос-венные последствия реализации заданных способов и форм воздей-ствия на объект (прогнозирование).

Рис. 4.1. Общая схема процесса компьютерного математиче-ского моделирования Составим список величин, от которых зависит поведение объекта или ход процесса, а также тех величин, которые желательно полу-чить в результате моделирования. Обозначим первые (входные) ве-личины через Х1, Х2,..., Хn; вторые (выходные) через У1,У2, …, Ук. Символически поведение объекта или процесса можно представить в виде Уj = Fj(x1, х2,..., хп) (j=1,2,..., К), (1.1) где Fj- те действия, которые следует произвести над входными параметрами, чтобы по-лучить результаты. Хотя запись F(х1, х2,..., хn) напоминает о функ-ции, мы здесь используем ее в более широком смысле. Лишь в про-стейших ситуациях F(х) есть функция в том смысле, который вкла-дывается в это понятие в учебниках математики; чтобы это под-черкнуть, лучше использовать по отношению к F(x) термин «опера-тор». Входные параметры хj могут быть известны «точно», т.е. под-даваться (по крайней мере, в принципе) измерению однозначно и с любой степенью точности - тогда они являются детерминирован-ными величинами. Так, в классической механике входные парамет-ры детерминированы - соответственно, детерминирован и одно-значно развивается во времени процесс эволюции такой системы. Однако в природе и обществе гораздо чаще встречаются процессы иного рода, когда значения входных параметров известны лишь с определенной степенью вероятности, т.е. эти параметры являются вероятностными (стохастическими), и, соответственно, таким же является процесс эволюции системы (случайный процесс). «Случай-ный» - не значит «непредсказуемый»; просто характер исследова-ния, задаваемых вопросов резко меняется (они приобретают вид «С какой вероятностью...», «С каким математическим ожиданием...» и т.п.). Примеров случайных процессов не счесть как в науке, так и в обыденной жизни. Для стохастической модели выходные пара-метры могут быть как величинами вероятностными, так и одно-значно определяемыми. Важнейшим этапом моделирования является разделение вход-ных параметров по степени важности влияния их изменений на вы-ходные. Такой процесс называется ранжированием (разделением по рангам). Чаще всего невозможно (да и не нужно) учитывать все факторы, которые могут повлиять на значения интересующих нас величин yj. От того, насколько умело выделены важнейшие факто-ры, зависит успех моделирования, быстрота и эффективность дос-тижения цели. Выделить более значимые факторы и отсеять менее важные может лишь специалист в той предметной области, к кото-рой относится модель. Отбрасывание (по крайней мере, при первом подходе) менее значимых факторов огрубляет объект моделирова-ния и способствует пониманию его главных свойств и закономерно-стей. Умело ранжированная модель должна быть адекватна исход-ному объекту или процессу в отношении целей моделирования. Обычно определить, адекватна ли модель можно только в процессе экспериментов с ней, анализа результатов. На рис. 4.2 проиллюст-рированы две крайние ситуации: а) некоторый параметр хj очень сильно влияет на результирующую величину, б) почти не влияет на нее. Ясно, что если все представляющие интерес величины реаги-руют на xj так, как изображено на рис. 1.2, б, то xj является парамет-ром, который при первом подходе может быть из модели исключен; если же хотя бы одна из величин уj реагирует на изменение хj так, как изображено на рис. 4.2, а, то хj нельзя исключать из числа важнейших параметров.

Рис. 4.2. Варианты степени влияния величины хj, на результи-рующую величину yj. Следующий этап - поиск математического описания. На этом этапе необходимо перейти от абстрактной формулировки модели к формулировке, имеющей конкретное математическое наполнение. В этот момент модель предстает перед нами в виде уравнения, сис-темы уравнений, системы неравенств, дифференциального уравне-ния или системы таких уравнений и т.д. Когда математическая модель сформулирована, выбираем ме-тод ее исследования. Как правило, для решения одной и той же за-дачи есть несколько конкретных методов, различающихся эффек-тивностью, устойчивостью и т.д. От верного выбора метода часто зависит успех всего процесса. Разработка алгоритма и составление программы для ЭВМ - это творческий и трудно формализуемый процесс. В настоящее время при компьютерном математическом моделировании наиболее рас-пространенными являются приемы процедурно-ориентированного (структурного) программирования. После составления программы решаем с ее помощью простей-шую тестовую задачу (желательно, с заранее известным отве-том) с целью устранения грубых ошибок. Это лишь начало проце-дуры тестирования, которую трудно описать формально исчерпы-вающим образом. По существу, тестирование может продолжаться долго и закончиться тогда, когда пользователь по своим профессио-нальным признакам сочтет программу верной. Затем следует собственно численный эксперимент, и выясняется, соответствует ли модель реальному объекту (процессу). Модель адекватна реальному процессу, если некоторые характеристики процесса, полученные на ЭВМ, совпадают с экспериментальными с заданной степенью точности. В случае несоответствия модели ре-альному процессу возвращаемся к; одному из предыдущих этапов.

С простейшей научной графикой мы встречаемся очень рано. Уже в курсе математики 6-7 классов есть достаточно абстрактные и условные рисунки, которые дети легко воспринимают - например, график линейной функции. А ведь на нем немало элементов, интер-претация которых, если задуматься, вовсе не очевидна: линии, штрихи, стрелки, масштабы и т.д. Несмотря на это, понять по гра-фику свойства сложной функции человеку гораздо легче, чем из со-ответствующей формулы, хотя в ней информации гораздо больше. Так уж устроено человеческое восприятие, что рисунки, пусть даже условные, гораздо легче воспринимаются рассудком, чем сложные формулы или колонки чисел. В современной прикладной информа-тике этим обстоятельством очень широко пользуются, и в ней сформировалось соответствующее направление - машинная (ком-пьютерная) графика. По определению, машинная графика - раздел информатики, в рамках которого исследуются и разрабатывают-ся технические, математические, программные и методические средства и приемы использования ЭВМ для создания, обработки, хранения и практического применения графических изображений. В машинной графике выделяют несколько разделов. Иллюстративная ____________графика, простейшими программными сред-ствами которой являются всем знакомые диалоговые программы - графические редакторы, служит для создания изображений, за ко-торыми, как правило, не стоят какие-либо математические объекты. Это - средство реализации свободного полета мысли и воображе-ния, любимое занятие начинающих приобщаться к компьютеру. Деловая графика существенно «скучнее». Когда администрато-ру, бухгалтеру, экономисту и т.д. нужно перевести сухие колонки чисел в столбчатую диаграмму, круговую диаграмму, график, дос-таточно вызвать такую программу и в ходе диалога сообщить ей за-

головки, подписи, разметки, цвета и т.д. и имя файла, в котором по определенным правилам записаны указанные числа. Система по-строит заданное изображение на экране, выведет его на принтер. Одна из самых сложных и специализированных разновидностей систем машинной графики - инженерная графика, известная также под именем САПР - системы автоматизированного проектирования. Это диалоговые системы, предназначенные для автоматизации про-цесса проектирования технических объектов, создания полных ком-плектов проектных документов с учетом существующих норм стан-дартов. Научная графика - наиболее актуальная для изучаемого нами курса и наименее всех допускающая единое описание. Универсаль-ных систем компьютерной научной графики не существует из-за огромного разнообразия задач. Часто программы, реализующие на-глядное изображение решения научной задачи (почти всегда по итогам математического моделирования), встраиваются внутрь ос-новной программы, пишутся на том же самом языке программиро-вания. Общую цель научной графики можно сформулировать так: сделать невидимое и абстрактное «видимым». Берем последнее сло-во в кавычки, так как часто эта «видимость» весьма условна. Изо-бражения такого рода систематически публикуются научными и на-учно-популярными изданиями. Более того, можно «увидеть» и то, что, строго говоря, вообще плохо соответствует слову «видеть». Так, возникшая на стыке химии и физики наука - квантовая химия - дает нам возможность «увидеть» строение молекулы. Эти изобра-жения - верх абстракции и системы условностей, так как в атомном мире обычные наши понятия о частицах (ядрах, электронах и т.д.) принципиально не применимы. Однако, многоцветное «изображе-ние» молекулы на экране компьютера для тех, кто понимает всю меру его условности, приносит большую пользу, чем тысячи чисел, являющихся плодом квантово-химического расчета. Физика - наука, в которой математическое моделирование явля-ется чрезвычайно важным методом исследования. Наряду с тради-ционным делением физики на экспериментальную и теоретическую сегодня уверенно выделяется третий фундаментальный раздел - вы-числительная физика (сотрutational physics). Причину этого в целом можно сформулировать так: при максимальном проникновении в физику математических методов, порой доходящем до фактическо-го сращивания этих наук, реальные возможности решения возни-кающих математических задач традиционными методами очень ог-раниченны. Из многих конкретных причин выделим две наиболее часто встречающиеся: нелинейность многих физических процессов и необходимость исследования совместного движения многих тел, для которого приходится решать системы большого числа уравне-ний. Часто численное моделирование в физике называют вычисли-тельным экспериментом, поскольку оно имеет много общего с ла-бораторным экспериментом.

Таблица 4.1 Аналогии между лабораторным и вычислительным экспериментами Лабораторный эксперимент Вычислительный эксперимент Образец Физический прибор Калибровка прибора Измерение Анализ данных Модель Программа для компьютера Тес-тирование программы Расчет Анализ данных

Численное моделирование (как и лабораторные эксперименты) чаще всего является инструментом познания качественных законо-мерностей природы. Важнейшим его этапом, когда расчеты уже за-вершены, является осознание результатов, представление их в мак-симально наглядной и удобной для восприятия форме. Забить чис-лами экран компьютера или получить распечатку тех же чисел не означает закончить моделирование (даже если числа эти верны). Тут на помощь приходит другая замечательная особенность компь-ютера, дополняющая способность к быстрому счету - возможность визуализации абстракций. Представление результатов в виде графи-ков, диаграмм, траекторий движения динамических объектов в силу особенностей человеческого восприятия обогащает исследователя качественной информацией.

Дата добавления: 2014-01-06