Дифференциальное уравнение упругой линии гибкого стержня

Рассмотрим равновесие первоначально прямого гибкого стержня постоянной изгибной жесткости, длиной, нагруженного на концах силами и моментами. Поместим начало координат в точку и направим ось по направлению действия силы. Здесь - дуговая координата, - угол касательной к оси.

()

Рис.21. Линия гибкого стержня.

Изменение кривизны в произвольной точке стержня:

(в формуле стоит, а не, поскольку в начальном положении).

С другой стороны,

;

.

Изгибающий момент в интересующей нас точке равен:

;

Чтобы исключить, необходимо продифференцировать уравнение по и учесть, что:

.

Это выражение можно представить в безразмерной форме, если ввести безразмерный параметр нагрузки,

;

;

и безразмерную дугу,

;.

Получается:

.

Если проинтегрировать это выражение, умножив левую и правую часть на:

;

.

Для дальнейшего интегрирования:

;

.

Получен первый интеграл дифференциального уравнения. Это выражение связывает кривизну в каждой точке с величиной угла наклона касательной в этой точке к оси.

В зависимости от того, какое значение принимает интегрирование, изогнутая ось стержня принимает различные виды формы.

Если, то характерно наличие точки прогиба.

Если, то пока, то обязательно присутствует точка перегиба. Изогнутая ось стержня описывается перегибной формой.

Если, то характерна бесперегибная форма.

Рис.22. Схема для Т.Р. и Т.С.

Условные обозначения:

Т.Р. – точка растяжения;

Т.С. – точка сжатия.

Т.Р. (не было точки) и Т.С. характеризуют отсутствие поперечной силы. Нормаль в этих точках является осью симметрии для двух ветвей упругой линии.

Точка перегиба характеризует отсутствие изгибающего момента. Она характеризуется обратной симметрией.

В рассмотренном ранее примере могут быть добавлены краевые условия:

1),;

2),.

Если задача со слабой нелинейностью, то решение представляет собой некоторый набор последовательных пошаговых решений. При решении задач с сильной нелинейностью приходится использовать итерационные методы, где каждый шаг представляет собой некоторую последовательность итерационных шагов.

Дальнейшее интегрирование производится по-разному для перегибных и бесперегибных форм.

Перегибные формы.

Вводится замена и.

Дифференцирование по:

.

С учетом:

.

В результате получается интеграл эллиптического типа:

;

,

где - модуль эллиптического интеграла,

- эллиптическая амплитуда.

После интегрирования получается:

,

где

.

Бесперегибные формы.

;;

;

.

Поскольку, модуль удобно подставлять в виде, где - модулярный угол (). Параметр постоянен для данной упругой линии. Учитывая, что вся длина:

;;

.

Вывод: чтобы построить геометрию кривой в безразмерном виде достаточно знать три величины:,,.

Дата добавления: 2014-01-06