Метод последовательных приближений. Интегральных уравнений

Интегральных уравнений

Приближенные методы решений

Задачи математической физики часто сводятся к решению интегральных уравнений.

Рассмотрим уравнение Фредгольма 2-го рода

где заданные функции, (ядро),

искомая функция.

Решение ищется в виде ряда по степеням

Подставляем (3) в уравнение

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях

Найдем условие сходимости.

Если когда то

если

Оценка погрешности приближения

если квадратуры вычисляются точно.

Если квадратуры нельзя выполнить, применяются квадратурные формулы.

Метод замены ядра на вырожденное

Ядро называется вырожденным, если его можно представить в виде

где

системы линейно-независимых нафункций.

Интегральное уравнение примет вид

Решение такого уравнения можно найти в конечном виде.

Будем искать решение в виде

где искомые постоянные.

Подставим (4) в уравнение

Введем обозначения

Принимая во внимание, что линейно-независимы, имеем

то есть мы получили для отыскания СЛАУ.

Если СЛАУ имеет единственное решение, то решение интегрального уравнения будет найдено в явном виде.

Теорема. Если можно построить достаточно близкое к ядру вырожденное ядро то решив уравнение с вырожденным ядром

мы получим решение, близкое к решению с ядром при

той же правой части.

Дата добавления: 2014-01-06