ФТТ (ФКС) – наука о строении и свойствах твёрдых тел (конденсированных состояний), и происходящих в них явлениях

Свойства твёрдых тел можно объяснить исходя из знания их атомно-молекулярного строения и законов движения его атомных (атомы, ионы, молекулы) и субатомных (электроны, ядра) частиц.

Накопление и систематизация данных о макроскопических свойствах твёрдых тел начилось с XVII века: были открыты законы Гука (1660 г.), Дюлонга-Пти (1819 г.)(теория теплоёмкости), Ома (1826 г.) и другие. Представление о кристалле как о совокупности атомов, упорядоченно расположенных в пространстве, и удерживаемых около положения равновесия силами взаимодействия было в окончательном виде сформулировано французским учёным Бреве в 1848 году. В 1890..91 гг. Фёдоров доказал возможность существования 230 пространственных групп симметрии кристаллов – 230 вариантов упорядоченного расположения атомных и субатомных частиц в твёрдых телах.

В 1912 году немецким учёным Лауэ была открыта дифракция лучей на кристаллах – это окончательно утвердило представление о твёрдом теле как об упорядоченной дискретной структуре.

В 1913 году англичание Вульф им Брэг установили закон дифракии: разность хода, падающих на кристалл лучей, должна быть равна целому числу длинн волн:

На основе этого были разработаны методы экспериментального определения расположения атомов в кристалле и измерения межатомных расстояний, что положило начало рентгеноструктурному анализу и другим дифракционным методам исследования кристаллической структуры твёрдых тел.

В 1927 году американцы Девидсон и Джерми наблюдали дифракцию электронов на кристалле, а затем и дифракцию нейтронов.

В 1922 году Иоффе объяснил низкую прочность, наблюдаемую у реальных кристаллов влиянием макроскопических дефектов на их поверхности (трещины, надрезы и так далее).

В 1933 году Тэйлор, Орован (США) и Поляни (Англия) сформировали понятия о дислокациях. Они определили, что механические свойства зависят от обработки твёрдого тела, вносящий или устраняющий дефекты.

В 1926 году Френкель обратил внимание на наличие в реальных кристаллах точечных дефектов и указал на их роль в процессе диффузии.

Существует ряд теорий, описывающих структуру и свойства твёрдых тел.

· Динамическая теория кристаллических решёток была разработана в начале ΧΧ века. Кристаллическая решётка была представлена как совокупность связанных квантовых осцилляторов. Эта совершенная теория была построена голландским учёным Дебаем (1912 год), а затем дополнена Борном и Карманом (1913 год) и Шредингером (1914). Квантование колебательных движений атомов, составляющих кристаллическую решётку, привело к введению понятия фонона (Тамм, 1929 год).

· Электронная теория твёрдых тел рассматривает роль электронов в твёрдых телах. Начало положил немецкий учёный Друде (1900 год). Он высказал идею, что электроны в твёрдом теле образуют так называемый свободный электронный газ. Дальше эта теория была развита голландцем Лоренцем (1904..5 годы).

· Квантово-механическое рассмотрение влияние периодического поля кристаллической решётки на движение электронов (американец Блох, француз Бриллюэ, 1928..34 годы) привело к созданию зонной теории – основы современной электронной теории твёрдого тела.

В 1931 году англичанин Винсон указал на то, что существование твёрдых тел с различными электрическими свойствами связано с характером заполнения зон при температуре Т = 0°К (металлы, диэлектрики, полупроводники).

(Знать зонное строение твёрдых тел!)

В 1928 году Френкель и Гейзенберг показали, что в основе явления ферромагнетизма лежит квантовое обменное взаимодействие.

В 1932..33 годах француз Нейель и россиянин Ландау Л.Д. предсказали антиферромагнетизм.

В 1911 году была открыта сверхпроводимость.

В 1938 году – сверхтекучесть (Пётр Копица).

Эти открытия стимулировали развитие новых методов квантовой статистики.

В 1941 году Ландау разработал феноменологическую теорию сверхтекучести. В 1950 году Ландау и Гинзберг создали теорию сверхтекучести.

В 1957 году была создана микроскопическая теория сверхпроводимости (Бардин, Купер, Шифер, Боголюбов).

Все эти основные теории нашли своё отражение и в современных, недавно открытых или созданных материалах нанометрового размера. Активное развитие наноматериаловедения началось с 90-х годов XX века, когда были открыты новые формы существования углерода – фуллерены и нанотрубки. Начался этап развития нанотехнологий.

Тема 2: Классификация твёрдых тел. Типы связи.

2.1. Классификация твёрдых тел

Силы, удерживающие частицы в кристалле – силы электростатического притяжения между противоположно заряженными частицами (электронами и ядрами), и силы отталкивания между одноимённо заряженными частицами (электронами и электронами, ядрами и ядрами). Характер межатомных сил лежит в основе классификации твёрдых тел. Согласно этой классификации, все твёрдые тела делятся на 4 типа:

1. Металлические

2. Ковалентные

3. Ионные

4. Молекулярные кристаллы

Кристаллы неорганических веществ с водородной связь, которая по своему характеру является в основном ионной, часто выделяют в отдельный тип:

5. Кристаллы с водородной связью (H₂O)

Водородная связь обусловлена электростатическим притяжением между атомом водорода и каким-либо сильно отрицательным атомом (О, F, N, Cl).

Характер межатомных сил взаимодействия определяется строением электронных оболочек взаимодействующих атомов. Как правило, в межатомных связях у большинства элементов принимают участие внешние валентные электроны. Число валентных электронов, способных участвовать в связи, периодически изменяется с возрастанием атомного номера Z, что является следствием периодического закона Менделеева.

При взаимодействии атомов одного сорта с атомами другого сорта характер химической связи определяется их способностью захватывать или отдавать электрон. Эта способность характеризует так называемой электроотрицательностью атомов Х:

где Э – энергия сродства к электрону, I – ионизационный потенциал.

Энергию, освобождающуюся при присоединении к электрону к нейтральному невозбуждённому атому с образованием отрицательного иона – аниона – называют энергий сродства атома к электрону.

Первый ионизационный потенциал соответствует энергии, необходимой для отрыва электрона от нейтрального невозбуждённого атома с образованием положительно заряженного иона – катиона.

2.2. Типы связи

В соответствии с классификацией твёрдых тел вводят 3 основных типа связи:

1. Металлическая

2. Ионная

3. Ковалентная

Связь между электроположительными металлами и электроотрицательными неметаллами является ионной связью. Так как она осуществляется между противоположно заряженными ионами, то её называют гетерополярной.

Металлическая связь реализуется между металлами и металлами.

Ковалентная связь – между неметаллами и неметаллами.

Металлическая и ковалентная связь являются гомополярными.

Названные типы связи являются предельными случаями химического взаимодействия. В реальности чисто ковалентные или чисто ионные связи встречаются чрезвычайно редко. Практически все ковалентные связи носят частично ионный характер. Долю частично ионного характера ковалентной связи называют степенью ионности, которую определяют:

где Х_А и Х_В – степени взаимодействия атомов А и В.

Если степень ионности (относительная ионность) равна 1, то связь между атомами чисто ионная. Если степень ионности равна 0, то связь чисто ковалентная. Если 0 < С.И. < 1, то это – ковалентная связь с частично ионным характером. Чем больше разность электроотрицательности, т.е. чем дальше отстоят два элемента один от другого в ряду электроотрицательности, тем отчётливее проявляется ионный характер связи.

Лекция № 2 от 16.09.2011

2.3. Энергия связи

Силы связи в молекулах и твёрдых телах имеют много общего, поэтому для количественной оценки энергии связи атомов в твёрдых телах можно рассмотреть сначала силы, которые удерживают атомы в двухатомной молекуле. Пусть имеются 2 атома: если атомы находятся далеко друг от друга, то они ведут себя как свободные. Энергию такой системы можно принять за 0. Начинают сближать эти атомы. При уменьшении расстояния между ними энергия системы понижается по сравнению с суммарной энергией изолированных атомов. Между атомами возникает сила притяжения. Этому соответствует уменьшение потенциальной энергии системы U(r). При некотором значении расстояния r = r₀, энергия U_r3 достигает минимума:

При дальнейшем сближении атомов между ними начинают действовать силы отталкивания, быстро возрастающие с уменьшением r. Это сопровождается увеличением потенциальной энергии U(r). То есть полная потенциальная энергия взаимодействия может быть представлена в виде сумме двух членов с соответствующем потенциалом сил притяжения и отталкивания (см. формулу 2.3). При r = r₀ образуется молекула, состоящая из двух атомов с наиболее стабильной конфигурацией. В этом состоянии ядра атомов совершают колебания с собственной частотой ω₀. Вблизи положения равновесия формула кривой U(r) близка к параболе. В общем же виде для U(r) справедливо разложение в ряд Тейлора:

Первые два слагаемых и описывают ….. Из (*) следует, что при небольших отклrонениях атомов от положения равновесия (когда членами, начиная с 3-го порядка можно пренебречь) атомы колеблются как гармонические осцилляторы. Энергия колебания атомов в молекуле:

где n = 0,1,2,…

Энергия колебания – дискретная величина.

Глубина минимума U₀ равна энергии связи атомов в молекуле.

Энергия связи или энергия сцепления равна разности потенциальных энергий системы в начальном и конечном состоянии:. За начальное состояние обычно принимают состояние, когда частицы (атомы, молекулы или ионы) находятся на достаточно больших расстояниях друг от друга, и не взаимодействуют между собой, то есть U₁=0. Конечное состояние соответствует равновесному расположению частиц при Т = 0°К, то есть энергия связи. Для оценки энергии связи необходимо знать хотя бы в общем виде зависимости U_прит(r) и U_отт(r). Вид этих зависимостей определяется природой взаимодействующих атомов. Потенциал сил притяжения, исходя из электростатического характера, можно представить в виде: где а и m – константы, большие 0.

Для потенциала сил отталкивания, который обусловлен отталкиванием ядер взаимодействующих атомов, и который зависит от экранировки ядер окружающими электронами Борн и Ланде предложили такую запись:

Таким образом получаем выражение для полной потенциальной энергии взаимодействующих частиц:

Полная энергия взаимодействующих атомов (энергия Ланде).

Используя соотношение (2.5) можно найти равновесное расстояние r₀.

Найдём – хуйня

(2.6) – равновесное расстояние в молекуле

Если поставить r₀ в 2.5 то можно найти уравнение для энергии связи в молекуле:

(2.7) – энергия связи в двухатомной молекуле.

Теперь перейдём к кристаллу. Зависимости энергии связи в кристаллах от межатомного расстояния r так же, как и в молекулах определяется двумя главными членами:

1. Притяжением атомов, обусловленное взаимодействием валентных электронов

2. Кулоновским отталкиванием внутренних оболочек атомных остовов и отталкиванием ядер/

Для устоцчивого валнтного состояния необходимо наличие минимума для суммарного электронного потенциала, который соответствует стабильной конфигурации атмов кристаллической решётки.

NB: Энергия связи кристалла представляет собой энергию, которая необходима для разделения тела на составные части

2.4. Молекулярные кристаллы

К молекулярным кристаллом относят твёрдые тела, в узлах кристаллической решётки которых располагаются либо одинаковые молекулы с насыщенными связями (H₂, Cl₂, Br₂), либо атомы инертных газов (аргон, неон, и т.д.).

Характерная особенность молекулярных кристаллов: частицы в кристалле (атомы, молекулы) удерживаются вместе очень слабыми силами Ван-дер-Ваальса.

Энергия связи молекулярных кристаллов очень мала, и составляет 0,02..0,15 эВ, в то время как для ионных кристаллов, например для NaCl, она сотовляет 8 эВ. Такие небольшие энергии сцепления обусловливают очень низкие температуры плавления этих кристаллов.

NB: наличие сил Ван-дер-Ваальса отражает тот факт, что нейтральный атом (молекула) может поляризоваться под влиянием электрического поля, причём даже 2 нейтральных атома индуцируют друг в друге малые дипольные электрические моменты.

Происхождение сил Ван-дер-Ваальса можно объяснить, исходя из следующих простых соображений: в атомах инертных газов внешние электроны образуют очень устойчивые группировки из 8 электронов в состояниях s²p⁶. В следствие этого на движение электронов слабо влияет присутствие соседних атомов. В среднем распределение заряда в изолированном атоме имеет сферическую симметрию (рисунок а). Положительный заряд ядра равен отрицательному заряду всех электронов, окружающих ядро. Атом является электрически нейтральным и центры положительного и отрицательного зарядов лежат в центре ядра. Если 2 таких атома находятся относительно далеко друг от друга, то они не взаимодействуют между собой (рисунок б).

При сближении атомов подвижный отрицательный заряд (электронное облако) одного из атомов в какой-то момент времени может оказаться смещённым, так что центры положительного и отрицательного зарядов уже не будут совпадать. В результате возникнет мгновенный дипольный электрический момент атома, который создаёт в центре другого атома электрическое поле. Т.е. и в этом атоме происходит разделение зарядов. Таким образом по мере приближения двух атомов друг к другу их стабильная конфигурация становится эквивалентной двум электрическим диполям (рисунок в). Так как притяжение более близких друг к другу противоположных зарядов увеличивается при сближении сильнее, чем отталкивание более далёких одноимённых зарядов, то результатом будет притяжение атомов друг к другу.

Молекулярные силы действуют не только между атомами инертных газов, но и между любыми атомами, когда они находятся достаточно далеко друг от друга.

При дальнейшем уменьшении расстояния между атомами электронные оболочки начинают перекрываться (рисунок г), и атомы начинают отталкиваться. Для того, чтобы суммарный потенциал U(r) имел минимум, необходимо, чтобы на малых расстояниях потенциал сил отталкивания был больше потенциала сил притяжения. Для описания потенциала взаимодействующих нейтральных атомов и молекул используют потенциал Леннарда-Джонса (для электро нейтральных молекул):

Параметр σ соответствует межатомному расстоянию, при котором полная потенциальная энергия равна 0, а параметр ε имеет размерность энергии и равен минимума потенциальной энергии при значении r₀ = 2^1/6σ. r₀ характеризует радиус действия межатомных сил. Параметры σ и ε получают экспериментально. Для нахождения энергии связи в кристаллах необходимо знать r₀, которое определяют из минимума энергии Подставляя r₀ в 2.8, получаем потенциал:

где Ν – число атомов в кристалле.

Вывод. Силы Ван-дер-Ваальса являются основными силами притяжения в случае кристаллов неактивных атомов и между молекулами с насыщенными связями в молекулярных кристаллах.

2.5. Ионные кристаллы

Ионные кристаллы представляют собой соединения с преобладающим ионным характером химической связи, в основе которой лежит электростатическое взаимодействие между заряженными ионами.

Типичные представители ионных кристаллов: галогениды щелочных металлов (NaCl, KCl, etc). При образовании кристаллов типа NaCl атомы галогенов (Cl, F, Br), обладающие большим сродством к электрону захватывают электроны щелочных металлов (K, Na, Li). При этом образуются положительные и отрицательные ионы с электронными оболочками s²p⁶. В результате кулоновского притяжения анионов и катионов происходит перекрытие 6 внешних р орбиталей и образуется решётка типа NaCl.

Лекция № 3 от 30.09.2011

К ионным кристаллам относятся большинство диэлектриков. Электропроводность ионных кристаллов при комнатной температуре на 20 порядков меньше электропроводности металлов. Электропроводность диэлектриков осуществляется в основном ионами. В ионных кристаллах притяжение обусловлено кулоновским взаимодействием между заряженными ионами. Кроме притяжения существует также отталкивание, обусловленное так же отталкиванием одноимённых зарядов. В условиях, когда существуют и силы притяжения, и силы отталкивания устойчивость ионных кристаллов объясняется тем, что расстояние между разноимёнными зарядами меньше, чем между одноимёнными, поэтому силы притяжения преобладают над силами отталкивания. Запишем выражение для энергии взаимодействия между двумя ионами i и j, находящимися на расстоянии r_ij в кристалле, образованном из ионов с зарядами Z₁e и Z₂e:

где первый член соответствует потенциалу притяжения, а второй – потенциалу отталкивания.

Пологая, что,, где r – расстояние между ближайшими ионами. Выполняя суммирование по всем ионам, при условие что, получим потенциал взаимодействия i-го иона со всеми остальными:

А и В – структурные суммы. Структурная сумма А называется постоянной Маделунга. Она зависит от типа кристаллической структуры и координационного числа. Координационное число – число ближайших соседей, окружающих данный атом. Знак в сумме выбирается в зависимости от заряда рассматриваемого иона. То есть δ_ij определяет номер сферы ближайшей от выбранного иона соседа.

Рассмотрим пример вычисления А для кристалла NaCl:

Это означает, что на расстоянии выбранного Cl^- находится 6 положительных Na, на – 12 отрицательных Cl, на – 8 ионов Na. Запишем выражение из (*) для полной энергии кристалла, содержащего N ионов:

Чтобы найти равновесное состоянии при, продиффиринируем уравнение (поиск экстремумов в точке):

Отсюда можно выразить В:

Которое необходимо подставить в формулу (**). Подставляя В в (**) мы можемм записать энергию сцепления ионного кристалла в расчёте на 1 пару ионов: (избавляемся от n)

Это энергия связи ионного кристалла – формула Бора-Ланде.

2.6. Ковалентные кристаллы

К ковалентным кристаллам относятся твёрдые тела, кристаллическая структура которых образована за счёт ковалентной связи.

К ним относятся алмаз, кремний, германий, и алмаз подобные соединения. Как правило ковалентные кристаллы являются полупроводниками.

NB: Ковалентная связь имеет тоже происхождение, что и связь в гомополярных молекулах типа H₂. Она обусловлена обменным электронным взаимодействием между атомами.

Для понимания сущности ковалентной связи рассмотрим механизм образования молекулы H₂. Она образуется при взаимодействии двух атомов водорода. Один атом Н имеет 1s¹ электрон в оболочке, так что ему не хватает 1 электрона для того, чтобы получилась полностью заполненная s оболочка. При сближении двух атомов Н возможно перекрытие электронных оболочек и переход электрона от 1-го атома ко 2-му. Так как электронные оболочки не полностью заполнены (на одной оболочке могут находиться 2 электрона с разными спинами), то оба электрона переходят к одному атому. В такой молекуле атомов водорода нет: в ней содержатся только составные части этих атомов – 2 протона и 2 электрона. Электроны становятся общими для обоих ядер, или говорят, что электроны коллективизируются обоими ядрами. При этом, поскольку электроны совершенно одинаковы, то при их обмене местами состояние системы не изменяется.

С квантово-механической точки зрения состояние валентных электронов в атомах описывается атомной волновой функцией, где r – расстояние от центра ядра до места локализации электрона. Если есть 2 электрона в двух атомах, обозначаемых а и b, то поведение электронов в этих атомах будем описывать волновыми функциями Ψ_a и Ψ_b. Поведение коллективизированных или обобществлённых электронов будет описываться молекулярной волновой функцией. В качестве неё можно выбрать Ψ, которая описывает движение одного электрона в общем поле атомов а и b. Такую волновую функцию называют молекулярной орбиталью (МО). Она является линейной комбинацией атомных орбиталей (ЛКАО):

МО как ЛКАО. Здесь – атомные волновые функции / АО, – const, характеризующие долю участия в молекулярной орбитали каждой из орбиталей.

Для решения задачи о поведении коллективизированных электронов решается стационарное уравнение Шрёдингера, где гамильтониан, где U – потенциальная энергия системы, Е – полная энергия системы, – кинетическая энергия. Оператор состоит из:

где m_i – суммирование по всем электронам, M_k – по ядрам, Δ – лапласиан.

Так как масса ядер существенно больше массы электронов, то ядра в молекуле движутся значительно медленнее электронов. Предположение о малости скоростей движения ядер позволяет пренебречь в первом приближении оператором их кинетической энергии, а координаты ядер считать их фиксированными параметрами. Это приближение называется адиабатическим приближением.

Для случая симметричной двухатомной молекулы существует симметричная и антисимметричная волновые функции:

Двум собственным значениям волновой функции соответствует 2 значения энергии E₁ и Е₂ уравнения Шредингера.

NB: То есть при сближении атомов и перекрытии их волновых функций происходит расщепление их энергетического уровня на 2 близко расположенных молекулярных уровня энергии, при этом:

Это уровни энергии в молекуле. Здесь

Интеграл перекрытия, характеризующий степень перекрывания атомных волновых функций при взаимодействии (S < 1).

- обменный интеграл, представляющий собой дополнительную энергию взаимодействия, возникающую из-за перераспределения электронной плотности при перекрытии атомных волновых орбиталей (А < 0). При этом так как S < 1, а А < 0 уровень Е_симм понижается, а уровень Е_анти повышается относительно исходного уровня энергии Е_а = Е_b.

Переходя от молекулы H₂ к кристаллам необходимо отметить следующее: основной характерной особенностью ковалентных кристаллов является то, количество ковалентных связей, образуемых каждым атомом со своими соседями ровно количеству неспаренных внешних электронов атома в свободном состоянии или в возбуждённом насыщенном. В этом смысле ковалентная связь является насыщенной. Дело в том, что атомы при взаимодействии могут возбуждать друг друга и производить распаривание электронов, то есть переводить один из спаренных электронов в свободную ячейку на незанятый энергетический уровень.

Рассмотрим атом углерода. У него 6 электронов. При объединении атомов углерода (например в структуру алмаза) один из 2s электронов переходит в свободную 2р ячейку, и у углерода на внешних оболочках получаются 4 неспаренных электрона. В результате взаимного возбуждения все 4 электрона находятся на так называемых гибридных орбиталях (sp³-гибрид). Это явление называется гибридизацией.

Наиболее характерной чертой ковалентной связи является её сильная направленность в пространстве, т.е. она образуется в тех направлениях, в которых локализуется электронная плотность. В следствии направленности связи ковалентные кристаллы обладают высокой твёрдостью и хрупкостью.

2.7. Металлы

Металлические твёрдые тела, в отличие от других типов твёрдых тел, обладают рядом особенностей: высокая электропроводность, металлический блеск (из-за большого коэффициента отражения электромагнитных волн), высокая пластичность, и так далее. Эти свойства обусловлены наличием в металлах свободных электронов.

NB: металлическая связи возникает при взаимодействии атомов электроположительных элементов, внешние валентные электроны которых связаны с ядром относительно слабо. В результате преобразования твёрдого состояния волновые функции металлических атомов перекрываются и электроны обобществляются. Таким образом в металлах внешние валентные электроны атомов коллективизированы и образуют так называемый электронный газ, заполняющий межионное пространство. Положительно заряженные ионы стягиваются в кристалл отрицательно заряженным электронным газом. Свободные электроны обуславливают ненаправленный и ненасыщенный характер металлической связи.

Большинство металлов кристаллизуется в структурах, отвечающей плотнейшей шаровой упаковке. Чаще всего встречаются:

1. Плотнейшая гексагональная упаковка (2х слойная). Характеризуется структурной записью ABAB…

2. Плотнейшая кубическая упаковка (3х слойная). Запись: АВСАВС…

Изобразим графически схему этих упаковок в виде сетки, узлами которой являются центры шаров А, В и С, которые располагаются в пустотах. На рисунке:

· Точки – центры шаров типа А

· Х – центры шаров типа В

· О – центры шаров типа С

1. АВАВ…. На исходный слой А накладывается второй слой так, чтобы проекции узлов сетки этого слоя занимали позиции В (слой В). Следующий 3-й слой располагается так, что проекции узлов сетки этого слоя занимают снова позиции А, и так далее. Аналогично можно построить упаковку АСАС….

2. АВСАВС…. Строится аналогично.

Пустоты, которые окружают каждый шар бывают тетраэдрические и октоэдрические. Название происходят от типа геометрической фигуры, которая окружает шары.

Тема 3: Структура твёрдых тел

3.1. Кристаллические решётки. Трансляционная симметрия

Основной особенностью кристаллов является периодичность пространственного расположения атомов, молекул или ионов, из которых состоит кристалл, т.е. дальний порядок.

Совокупность таких периодически расположенных частиц образует периодическую структуру, называемую кристаллической решёткой. Точки, в которых расположены атомы, называют узлами кристаллической решётки.

Представление о пространственной решётке было введено кристаллографом и математиком Огюстеном Браве. Чтобы выявить внутреннюю симметрию кристалла будем предполагать, что кристаллическая решётка не ограничена. Периодичность решётки проявляется в так называемой трансляционной симметрии.

Трансляционная симметрия означает, что существуют 3 вектора, характеризующиесся тем, что при смещении решётки на вектор

где n_1, n₂ и n₃ – целые числа (включая 0), рештка переходит сама в себя. Такие смещения называют трансляциями, а вектор – вектор трансляции.

Если выбрать длинны векторов минимальными, но такими, чтобы трансляциями вдоль этих направлений можно было бы получить всю кристаллическую решётку, то эти векторы называются основными или базисными векторама, а их совокупность называют базисомрешётки. Началом 3х векторов трансляции можно выбрать любую точку.

Параллелепипед с рёбрами называется основным или базиснымпараллелепипедом. Вместе с находящимися в нём атомами он образует элементарную ячейку кристаллической решётки.

Элементарная ячейка в общем виде представляет собой косоугольный параллелипипед с рёбрами и углами α(b, c), β(a, c), γ(a, b).

Параметры a, b, c, α, β, γ называют параметрами решётки, а a, b, c – постоянные решётки.

Если элементарная ячейка содержит 8 атомов в вершинах основного параллелепипеда, и не содержит ни одного атома внутри объёма или на гранях этого параллелепипеда, то она называется примитивной. Все прочие ячейки называют сложными.

NB: На объём основного параллелепипеда приходится 1 узел решётки.

На самом деле каждый узел, находящийся в вершине параллелепипеда принадлежит одновременно 8 параллелепипедам (3-х мерное пространство). Значит каждому параллелепипеду этот узел принадлежит на 1/8, так как вершин 8, то полностью параллелепипеду принадлежит узел.

Возможные различные способы выбора элементарной ячейки. Элементарную ячейку принято выбирать таким образом, чтобы она удовлетворяла следующим условиям:

1. Наилучшим образом отражала симметрию.

2. Имела бы по возможности прямые углы.

3. Обладала бы минимальным объёмом или площадью.

Примитивную ячейку можно получить так:

1. Провести линии, соединяющие выбранную точку со всеми соседними точками.

2. Через середины этих линий провести перпендикуляры.

Полученная таким образом ячейка минимального объёма называется примитивной ячейкой Вигнера-Зейтца. Нарисуем для 2-х мерного случая.

3.2. Решётки Браве

В 1848 году Браве показал, что все кристаллические структуры можно описать с помощью 14 типов решёток, отличающиеся формами элементарных ячеек и симметрией.

Эти решётки называют трансляционными решётками Браве.

По характеру расположения узлов все элементарные решётки по Браве делятся на 4 типа (см. рисунок):

1. Примитивная или Р-ячейка.

Сингония	Параметры
1. Триклинная
2. Моноклинная
3. Ромбическая
4. Тетрагональная
5. Гексагональная
6. Кубическая
7. Тригональная

1. Базоцентрированная или С-ячейка.

2. Объёмоцентрированная или I-ячейка.

3. Границентрированная или F-ячека.

В кристаллографии для аналитического описания кристаллов пользуются 3-х мерной системой координат, которую выбирают в соответствии с симметрией кристалла. Как правило оси координат совпадают с рёбрами элементарной ячейки, которая характеризуется параметрами a, b, c, α, β, γ. Все кристаллы можно объединить в 7 кристаллографических систем координат или сингоний.

14 трансляционных решёток Браве распределены по этим сингониям таким образом:

1. Триклинная: имеет примитивную решётку Р

2. Моноклинная: Р, С

3. Ромбическая: Р, С, I, F

4. Тетрагональная: P, I

5. Кубическая: Р, I, F

6. Гексагональная: P

7. Тригональная: Р

3.3. Индексы Миллера

Положение плоскости в кристалле можно определить задав отрезки U, υ и ω, отсекаемые на координатной плоскости…. Однако в случае плоскостей, проходящей через узлы кристаллической решётки, оказывается более удобным задавать положение плоскости с помощью наименьших целых чисел h, k, l, обратных отрезкам U, υ и ω, т.е. выполняется правило:

h, k, l называют индексами Миллера. При записи из заключают в скобки: (h k l).

Пример 1: Пусть отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях, равны:. Определить индексы Миллера и построить плоскость. (рисунок)

Решение: Воспользуемся условием (3.2): 2, 3/2, 1. Умножим всё на 2: (4 3 2). Построение в осях единичного размера в кубе.

Пример 2: плоскость описывается индексами Миллера (4 3 2). Найти отрезки, отсекаемые плоскостью на осях, и выполнить построение.

Решение: разделим индексы на 2: (2, 3/2, 1). Используя (3.2) переворачиваем: 1/2, 2/3, 1

Дата добавления: 2014-01-06