КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Рекуррентные вычисления
Предварительно следует записать рекуррентное соотношение для текущего члена суммы, чтобы его вычисление требовало ровно одного сложения.
Предварительно следует записать рекуррентное соотношение для текущего члена суммы, чтобы его вычисление требовало ровно одного умножения.
где
где
где
Предварительно следует записать рекуррентное соотношение для текущего члена суммы, чтобы его вычисление выполнялось за время, равное 12 уе. (см. задачи предыдущей главы). Сравните вычисленное значение S со значением . Вычислите разность при различных значениях n и x.
Предварительно следует записать рекуррентное соотношение для текущего члена суммы, чтобы его вычисление выполнялось за время, равное 27 уе. (см. задачи предыдущей главы). Сравните вычисленное значение S со значением sin(x). Вычислите разность | S - sin(x)| при различных значениях n и x.
Предварительно следует записать рекуррентное соотношение для текущего члена суммы, минимизируя время его вычисления. Сравните вычисленное значение S со значением arcsin(x). Вычислите разность | S - arcsin(x)| при различных значениях n и x.
Предварительно следует записать рекуррентное соотношение для текущего члена суммы, чтобы его вычисление выполнялось за время, равное 27 уе. (см. задачу 1.30). Сравните вычисленное значение S со значением cos(x). Вычислите разность | S - cos(x)| при различных значениях n и x.
Предварительно следует записать рекуррентное соотношение для текущего члена суммы, минимизируя время его вычисления. Сравните вычисленное значение S со значением arccos(x). Вычислите разность | S - arccos(x)| при различных значениях n и x.
Предварительно следует записать рекуррентное соотношение для текущего члена суммы. Минимизируйте время его вычисления в условных единицах. Сравните вычисленное значение S со значением ln(x). Вычислите разность | S - ln(x)| при различных значениях n и x.
где определяются следующим соотношением: Предварительно следует записать рекуррентные соотношения, как для получения чисел , так и для вычисления S. Сравните вычисленное значение S со значением tg(x). Вычислите разность | S - tg(x)| при различных значениях n и x.
Сравните вычисленное значение S со значением tg(x). Вычислите разность | S - tg(x)| при различных значениях n и x.
Предварительно следует записать рекуррентное соотношение для текущего члена суммы, минимизируя время его вычисления. Сравните вычисленное значение S со значением arctg(x). Вычислите разность | S - arctg(x)| при различных значениях n и x.
где определяются следующим соотношением: Предварительно следует записать рекуррентные соотношения как для получения чисел , так и для вычисления S. Сравните вычисленное значение S со значением ctg(x). Вычислите разность | S - ctg(x)| при различных значениях n и x.
Предварительно следует записать рекуррентное соотношение для текущего члена суммы, минимизируя время его вычисления. Сравните вычисленное значение S со значением arcctg(x). Вычислите разность | S - arcctg(x)| при различных значениях n и x.
где определяются следующим соотношением: Предварительно следует записать рекуррентные соотношения как для получения чисел , так и для вычисления S. Сравните вычисленное значение S со значением sc(x). Вычислите разность | S - sc(x)| при различных значениях n и x.
Предварительно следует записать рекуррентное соотношение для текущего члена суммы, минимизируя время его вычисления. Сравните вычисленное значение S со значением sh(x). Вычислите разность | S - sh(x)| при различных значениях n и x.
Предварительно следует записать рекуррентное соотношение для текущего члена суммы, минимизируя время его вычисления. Сравните вычисленное значение S со значением ch(x). Вычислите разность | S - ch(x)| при различных значениях n и x.
Предварительно следует записать рекуррентное соотношение для текущего члена суммы, минимизируя время его вычисления. Сравните вычисленное значение S со значением Arcsh(x). Вычислите разность | S - Arcsh(x)| при различных значениях n и x. 7.4. Бесконечность и компьютеры. Вычисления с точностью ε Бесконечность для математики естественна. Множество целых чисел бесконечно, множество рациональных чисел бесконечно, множество вещественных чисел бесконечно. Но если элементы первых двух множеств можно пронумеровать, то последнее множество несчетно. Сколь угодно малый промежуток вещественной оси мы бы ни взяли, там находится бесконечно много вещественных чисел. Число и другие иррациональные числа задаются бесконечным числом цифр, не имеющим периода. Многие базисные определения в математике основаны на понятии предела и стремлении к бесконечности.
Мир компьютеров - это конечный мир, хотя в нем и присутствует стремление к бесконечности. Множества, с которыми приходится оперировать в мире компьютера, всегда конечны. Тип целых чисел в языках программирования - int - всегда задает конечное множество целых из некоторого фиксированного диапазона. В библиотеке FCL это наглядно подтверждается самими именами целочисленных типов System.Int16, System.Int32, System.Int64. Типы вещественных чисел - double, float - задают конечные множества. Это достигается не только тем, что диапазон задания вещественных чисел ограничен, но и ограничением числа значащих цифр, задающих вещественное число. Поэтому для вещественных чисел компьютера всегда можно указать такие два числа, между которыми нет никаких других чисел. Иррациональности компьютер не знает - число всегда задается конечным числом цифр. Там, где в математике идет речь о пределах, бесконечных суммах, сходимости к бесконечности, в компьютерных вычислениях аналогичные задачи сводятся к вычислениям с заданной точностью - с точностью . Рассмотрим, например, задачу о вычислении предела числовой последовательности: По определению число A является пределом числовой последовательности, если для любого сколь угодно малого числа существует такой номер N, зависящий от , что для всех n, больших N, числа находятся в -окрестности числа A. Это определение дает основу для вычисления значения предела A. Понятно, что получить точное значение A во многих случаях принципиально невозможно, - его можно вычислить лишь с некоторой точностью и тоже не сколь угодно малой, поскольку, как уже говорилось, есть понятие "машинного нуля" - минимального числа, все значения меньше которого воспринимаются как нуль. В одной из задач требуется вычислить значение числа как предел числовой последовательности. Оставаясь в рамках стандартных множеств чисел (double, float), принципиально невозможно получить точное значение этого числа, поскольку в этих множествах нет иррациональных чисел с бесконечным числом цифр. Но можно получить значение этого числа с некоторой точностью. Когда два соседних члена последовательности - и - начинают отличаться на величину, по модулю меньшую, чем , то можно полагать, что оба члена последовательности попали в -окрестность числа A и можно принять за приближенное значение числа A. Это рассуждение верно только при условии, что последовательность действительно имеет предел. В противном случае этот прием может привести к ошибочным выводам. Например, последовательность, элементы которой равны 1, если индекс элемента делится на 3, и равны 2, если индекс не делится на 3. Очевидно, что у этой последовательности предела нет, хотя существуют два полностью совпадающих соседних члена последовательности.
Большинство задач этого раздела посвящено вычислениям значения функций, заданных разложением в бесконечный сходящийся ряд. И здесь не ставится задача получения абсолютно точного результата. Достаточно вычислить значение функции с заданной точностью . На практике вычисления останавливаются, когда текущий член суммы становится по модулю меньше заданного . Опять-таки, чтобы этот прием корректно работал, необходима сходимость ряда. Контрпримером является задача, где вычисляется сумма гармонического ряда. Здесь для любого заданного текущий член суммы, начиная с некоторого номера, становится меньше , но ряд расходится, и последовательность конечных сумм ряда не имеет предела. Рассмотрим задачу вычисления функции с использованием ее разложения в бесконечный сходящийся ряд: Вот возможный шаблон ее решения: public double f(double x) { double S=0,ak=1, eps=1e-8; while(Math.Abs(ak) >eps) { //Вычислить ak S+=ak; } return(S); }При применении этого шаблона следует:
Во всех задачах этого раздела задается точность вычислений - малое вещественное число. Обычно, если требуется получить результат с точностью до 5-6 значащих цифр, то задается константой (1e-8 - 1e-9).
Минимизируйте время его вычисления в условных единицах. Сравните вычисленное значение со стандартным значением PI, возвращаемым классом Math. Для разных значений вычислите n - число членов суммы, требуемых для достижения заданной точности.
Минимизируйте время его вычисления в условных единицах. Сравните вычисленное значение со стандартным значением PI, возвращаемым классом Math. Для разных значений вычислите n - число членов суммы, требуемых для достижения заданной точности.
Предварительно следует записать рекуррентное соотношение для текущего члена суммы. Минимизируйте время его вычисления в условных единицах. Сравните вычисленное значение со стандартным значением PI, возвращаемым классом Math. Для разных значений вычислите n - число членов суммы, требуемых для достижения заданной точности.
Предварительно следует записать рекуррентное соотношение для текущего члена суммы. Минимизируйте время его вычисления в условных единицах. Сравните вычисленное значение e со стандартным значением E, возвращаемым классом Math. Для разных значений вычислите n - число членов суммы, требуемых для достижения заданной точности.
Вычислить с заданной точностью пределы .
Указание: для ускорения вычислений используйте разложение в ряд только для дробной части числа x. Используйте умножение и константу e для вычисления , где n - это целая часть числа x.
Указание: для ускорения вычислений используйте разложение в ряд только для приведенного значения числа x. Помните, что sin(x) - это периодическая функция, так что всегда можно привести x к интервалу .
Указание: для ускорения вычислений используйте разложение в ряд только для приведенного значения числа x. Помните, что cos(x) - это периодическая функция, так что всегда можно привести x к интервалу .
где определяются следующим соотношением: Указание: используйте разложение в ряд только для приведенного значения числа x. Помните, что tg(x) - это периодическая функция, так что всегда можно привести x к интервалу .
где определяются следующим соотношением: Указание: используйте разложение в ряд только для приведенного значения числа x. Помните, что сtg(x) - это периодическая функция, так что всегда можно привести x к интервалу .
где определяются следующим соотношением: Указание: используйте разложение в ряд только для приведенного значения числа x. Помните, что sc(x) - это периодическая функция, так что всегда можно привести x к интервалу .
Указание: гиперболический синус sh(x) не является периодической функцией, поэтому никакого приведения x выполнять не следует.
Указание: гиперболический косинус ch(x) не является периодической функцией, поэтому никакого приведения x выполнять не следует.
Дата добавления: 2014-01-06; Просмотров: 1311; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |