Магнитное поле прямого тока

Применение теоремы о циркуляции вектора.

Теорема о циркуляции вектора.

Для магнитного поля в однородной и изотропной среде циркуляция вектора по произвольному контуру l равна:

,

где - алгебраическая сумма токов проводимости, охваченных контуром, - магнитная проницаемость среды.

Если направление обхода контура связано с направлением тока правилом правого буравчика, то в сумме ток берется со знаком плюс.

Пример..

Если ток I распределен непрерывно по поверхности, то его можно представить интегралом:

,

где вектор связан с направлением обхода контура правилом правого буравчика, - плотность тока, где расположена площадка.

Так как циркуляция вектора в общем случае не равна нулю, то это означает, что магнитное поле имеет вихревой характер, т.е. не является потенциальным.

Теорема о циркуляции может быть доказана исходя из закона Био-Савара-Лапласа и принципа суперпозиции. Мы не будем доказывать эту теорему в общем случае произвольных токов. Ограничимся рассмотрением только прямолинейных токов.

Выберем в качестве кривой циркуляции одну из силовых линий прямого тока (см. рисунок) и найдем циркуляцию:

.

Покажем, что циркуляция не зависит от формы кривой. Рассмотрим произведение

.

Циркуляция равна:

.

Если кривая l не охватывает ток, то очевидно.

Пусть кривая l охватывает прямолинейных токов. Согласно принципу суперпозиции в любой точке кривой l:

.

Найдём циркуляцию:

.

Эта теорема играет примерно ту же роль, что и теорема Гаусса для вектора. При наличии симметрии в распределение токов теорема о циркуляции позволяет очень просто находить.

Рассмотрим несколько важных для практики примеров.

Пусть постоянный ток I течет вдоль длинного прямого цилиндрического провода радиусом R. Материал провода – парамагнетик с магнитной проницаемостью, т.к. проводник является однородным, то плотность тока.

Магнитное поле прямого тока обладает осевой симметрией (силовые линии являются окружностями с центром на оси провода, а значение одинаково во всех точках окружности). Совместив кривую циркуляции l с одной из силовых линий, легко вычислить циркуляцию:

.

Используя теорему о циркуляции вектора для поля внутри и вне провода:

Находим:

.

Вектор

.

Внутри проводника, а вне и по структуре аналогично полю тонкого прямого провода, расположенного вдоль оси цилиндра. У поверхности значение испытывает разрыв (см. график), так как для провода, а для вакуума.

Разрыв связан с появлением у поверхности проводника связанного тока, направленного против тока проводимости.

Если провод имеет форму тонкостенной трубки, то снаружи индукция убывает обратно пропорционально расстоянию от оси трубки:

,

а внутри трубки. Убедитесь в этом самостоятельно.

Дата добавления: 2014-01-06