Численные решения нелинейных уравнений

Детерминизм. Невероятность

При разработке математической модели можно исходить из разных позиций. Одна из таких позиций детерминизм, т.е. представление о том, что состояние объекта, процесса в любой момент определяется ее предысторией, т.е. знает все, что происходило до этого момента. Математически это означает, что любые два параметра модели либо абсолютно независимы, либо один из них является функцией другого. В таком случае два эксперимента, поставленные при одинаковых условиях должны приводить к одинаковым результатам. Если выясняется, что результаты разные, то с позиции детерминизма это означает, что при расчетах или во время прохождения процесса не учтен какой-то скрытый параметр. Большинство классических моделей сопромата, классической механики являются детерминистскими.

Основные типы математических задач, возникающих при математическом моделировании:

I. решение линейных, алгебраических, трансцендентных уравнений и систем уравнений.

Типы уравнений, решаемых по курсу численные методы:

1. линейные уравнения f=ax+b

2. алгебраические уравнения f=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ

3. трансцендентные уравнения

Системы уравнений:

f₁ (a₁x₁+a₂x₂+a₃x₃+…+a_nx_n)=0

f₂ (a₁x₁+a₂x₂+a₃x₃+…+a_nx_n)=0

…

F_n (a₁x₁+a₂x₂+a₃x₃+…+a_nx_n)=0

II. обыкновенные дифференциальные уравнения

III. численные методы

F(x)=0

Решение нелинейных уравнений можно производить двумя классами методов:

- точные методы (прямые);

- итерационные методы.

ax²+bx+c=0

Метод деления отрезка пополам

Суть метода заключается в нахождении отрезка АВ, по аргументу внутри которого находится решение. Определение того, что решение находится в этом отрезке исходит из условия F(a)*F(b)<0

Решить уравнение: x3+x-1=0 [-2;2]

1. F(a) = -11
F(b) = 9
-11 -1 9

-2 0 2

a x b

x=(a+b)/2=(-2+2)/2=0

2.

-1 1 9

0 1 2

a x b

x=(0+2)/2 = 1

3.

-1 -0,375 1

0 0,5 1

a x b

|b-a|<ε

ε = 0,01

CLS

DEF FNF(X) = X^3+X-1

M1: INPUT a, b, E

IF FNF(a)*FNF(b)>0 THEN GOTO M1

M2: X=(a+b)/2

PRINT X, FNF(X)

IF FNF(a)*FNF(b)<0 THEN

b=X

ELSE

a=X

END IF

IF ABS(b-a)>E THEN GOTO M2

PRINT X, F(X), E

END

y

x

x₂ x₁ x₀

α

F(x₁)

F(x₂)

Решение нелинейных уравнений методом Ньютона или касательные

y = F(x)

Сначала выбираем нулевое приближение, исходя из условие

F(x₀)*F''(x₀)>0

F'(x)

|x_k+1-x_k|<ε

F'(x) = tg α

tg α =

x₀-x₁ =

x_{1 =} x₀-

x_{2 =} x₁-

x_{k =} x_k-1-

| x_k-x_k-1|<ε

F(x)=x³+x-1=0

F'(x)=3x²+1=0

F''(x)=6x

Лекция 5

Дата добавления: 2014-01-06