Алгоритм. Свойства алгоритмов

8.10.

Ответ

Ответ

Ответ

Ответ

Ответ

Ответ

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Вопросы для ПОВТОРЕНИЯ И самоконтроля

1. Кто разработал формальную логику и почему она так называется?

2. Какуюидею высказал Г. В. Лейбниц о рассуждениях?

3. Кто является основателем математической логики?

4. Кто из наших современников сумел ликвидировать разрыв между алгебраической теорией логики и ее практическим приложением?

5. Почему математический аппарат алгебры логики удобен для описания того, как функционируют аппаратные средства компьютера?

6. Для чего служит электронная схема " вентиль "?

7. Что такое " триггер "?

8. Сформулируйте понятие алгебры логики.

9. Что такое " логическое высказывание "?

10. Что такое " высказывательная форма " логического высказывания?

11. Какие слова относятся к " логическим связкам (операциям) "?

12. Что такое " составное" и "элементарное" высказывание?

13. Охарактеризуйте понятие "таблица истинности".

14. " Логическое отрицание " – обозначение и таблица истинности.

15. " Логическое умножение " – обозначение и таблица истинности.

16. " Логическое сложение " – обозначение и таблица истинности.

17. " Импликация " – обозначение и таблица истинности.

18. " Эквиваленция " – обозначение и таблица истинности.

19. Через какие другие логические функции можно выразить и мпликацию и эквиваленцию?

20. Что понимается под логической формулой?

21. Что такое выполнимая логическая формула?

22. Что такое тождественно истинная логическая формула?

23. Что такое тождественно ложная логическая формула?

24. Что такое равносильная логическая формула?

25. Основные законы алгебры логики.

26. Какое количество наборов значений переменных необходимо написать в таблице истинности для N переменных?

27. Как решаются таблицы истинности?

8.1. Установите, какие из следующих предложений являются логическими высказываниями, а какие — нет (объясните почему):

а) "Солнце есть спутник Земли";

б) "2+3? 4 ";

в) "сегодня отличная погода";

г) "в романе Л.Н. Толстого "Война и мир" 3 432 536 слов";

д) "Санкт-Петербург расположен на Неве";

е) "музыка Баха слишком сложна";

ж) "первая космическая скорость равна 7.8 км/сек";

з) "железо — металл";

и) "если один угол в треугольнике прямой, то треугольник будет тупоугольным";

к) "если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей, то он прямоугольный".

Ответ

8.2. Укажите, какие из высказываний предыдущего упражнения истинны, какие — ложны, а какие относятся к числу тех, истинность которых трудно или невозможно установить.

8.3. Приведите примеры истинных и ложных высказываний:

а) из арифметики; б) из физики;

в) из биологии; г) из информатики;

д) из геометрии; е) из жизни.

8.4. Сформулируйте отрицания следующих высказываний или высказывательных форм:

а) "Эльбрус — высочайшая горная вершина Европы";

б) "2>=5";

в) "10<7";

г) "все натуральные числа целые";

д) "через любые три точки на плоскости можно провести окружность";

е) "теннисист Кафельников не проиграл финальную игру";

ж) "мишень поражена первым выстрелом";

з) "это утро ясное и теплое";

и) "число n делится на 2 или на 3";

к) "этот треугольник равнобедренный и прямоугольный";

л) "на контрольной работе каждый ученик писал своей ручкой".

8.5. Определите, какие из высказываний (высказывательных форм) в следующих парах являются отрицаниями друг друга, а какие нет:

а) "5<10", "5>10";

б) "10>9", "10<= 9 ";

в) "мишень поражена первым выстрелом", "мишень поражена вторым выстрелом";

г) "машина останавливалась у каждого из двух светофоров", "машина не останавливалась у каждого из двух светофоров",

д) "человечеству известны все планеты Солнечной системы", "в Солнечной системе есть планеты, неизвестные человечеству";

е) "существуют белые слоны", "все слоны серые";

ж) "кит — млекопитающее", "кит — рыба";

з) "неверно, что точка А не лежит на прямой а", "точка А лежит на прямой а";

и) "прямая а параллельна прямой b", "прямая a перпендикулярна прямой b";

к) "этот треугольник равнобедренный и прямоугольный", "этот треугольник не равнобедренный или он не прямоугольный".

8.6. Определите значения истинности высказываний:

а) "наличия аттестата о среднем образовании достаточно для поступления в институт";

б) "наличие аттестата о среднем образовании необходимо для поступления в институт";

в) "если целое число делится на 6, то оно делится на 3 ";

г) "подобие треугольников является необходимым условием их равенства";

д) "подобие треугольников является необходимым и достаточным условием их равенства";

е) "треугольники подобны только в случае их равенства";

ж) "треугольники равны только в случае их подобия";

з) "равенство треугольников является достаточным условием их подобия";

и) "для того, чтобы треугольники были неравны, достаточно, чтобы они были неподобны";

к) "для того, чтобы четырёхугольник был квадратом, достаточно, чтобы его диагонали были равны и перпендикулярны".

8.7. Подставьте в приведённые ниже высказывательные формы вместо логических переменных a, b, c, d такие высказывания, чтобы полученные таким образом составные высказывания имели смысл в повседневной жизни:

а) если (а или (b и с)), то d;

б) если (не а и не b), то (с или d);

в) (а или b) тогда и только тогда, когда (с и не d).

8.8. Формализуйте следующий вывод: "Если a и b истинны, то c — истинно. Но c — ложно: значит, a или b ложны".

Ответ

8.9. Формализуйте предостережение, которое одна жительница древних Афин сделала своему сыну, собиравшемуся заняться политической деятельностью: "Если ты будешь говорить правду, то тебя возненавидят люди. Если ты будешь лгать, то тебя возненавидят боги. Но ты должен говорить правду или лгать. Значит, тебя возненавидят люди или возненавидят боги".

Формализуйте также ответ сына: "Если я буду говорить правду, то боги будут любить меня. Если я буду лгать, то люди будут любить меня. Но я должен говорить правду или лгать. Значит, меня будут любить боги или меня будут любить люди".

Ответ

8.10. Пусть a = " это утро ясное ", а b = " это утро теплое ". Выразите следующие формулы на обычном языке:

Ответ

8.11. Из трех данных высказываний a, b, c постройте составное высказывание, которое истинно, когда истинно какое-либо одно из данных высказываний, и только в этом случае.

Ответ

8.12. Определите с помощью таблиц истинности, какие из следующих формул являются тождественно истинными или тождественно ложными:

а)	д)
б)	е)
в)	ж)
г)

Ответ

8.13. Определите с помощью таблиц истинности, какие из следующих формул являются тождественно истинными или тождественно ложными:

а)

б)

в)

д)

ОТВЕТЫ К ЗАДАНИЯМ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

8.1. Являются высказываниями: а), г), д), ж), з), и), к);

не являются высказываниями: б); в); е).

8.2. Истинные: д), з), к);

ложные: а), и);

истинность трудно установить: г);

можно рассматривать и как истинное, и как ложное в зависимости от требуемой точности представления: ж).

8.3. Например, истинные высказывания: а) “2+2=4”; б) “сила притяжения тел обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними” в) “зайцы питаются растениями”; г) “бит - фундаментальная единица информации, используемая в теории информации”; д) “два треугольника равны, если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника”; е) “понедельник - первый день недели”.

Ложные высказывания: а) “4+3=5”; б) “тело падает на Землю с ускорением, пропорциональным своей массе”; в) “животные это неживая природа" г) “информатика - наука о термической обработке металлов”; д) “квадрат это фигура у которой пять сторон”; е) “лев - домашнее животное”.

8.4. а) “Эльбрус – не высочайшая горная вершина Европы”; б) “2<5”; в) “10>=7”; г) “не все натуральные числа целые”; д) “не через любые три точки на плоскости можно провести окружность”; е) “теннисист Кафельников проиграл финальную игру”; ж) “мишень не поражена первым выстрелом”; з) “это утро не ясное или оно не теплое” (Пояснение. Пусть А = “это утро ясное”, а B = “это утро теплое”. Тогда “это утро ясное и теплое” можно записать как А•В, отрицанием чего является , что соответствует высказывательной форме “это утро не ясное или оно не не теплое”; и)“ число n не делится на 2 и оно делится на 3”; к) “этот треугольник не равнобедренный или он не прямоугольный”; л) “не каждый ученик писал контрольную своей ручкой” (вариант: "кто-то писал контрольную не своей ручкой").

8.5. Являются отрицаниями друг друга: б), г), д), к);

не являются отрицаниями друг друга: а), в), е), ж), з), и).

8.6. Истинны: б), в), г), з), к), и);

ложны: а), д), е), ж).

8.8. .

8.9. Решение. Введем обозначения для логических высказываний: а – “ты будешь говорить правду”; b – “тебя возненавидят люди”; c – “тебя возненавидят боги ”. Договоримся считать, что некоторое заданное высказывание x истинно, если нет оговорки. Тогда предостережение матери можно записать так:

. А ответ сына – так:

.

а) “это утро ясное и тёплое”;	ж) “это утро не ясное или не тёплое”;
б) “это утро ясное и оно не тёплое”;	з) “это утро не ясное и не тёплое”;
в) “это утро не ясное и оно не тёплое”;	и) “это утро ясное или не тёплое”;
г) “это утро не ясное или оно тёплое”;	к) “если это тро ясное, то оно не тёплое”;
д) “это утро ясное или оно не тёплое”;	л) “если это утро не ясное, то оно тёплое”;
е) “это утро не ясное или оно не тёплое”;	м) “это утро ясное и не тёплое”.

8.11.

8.12. Тождественно истинные: а), в), е);

тождественно ложные: г), д), ж).

8.13. Тождественно истинные: а), в), е);

тождественно ложные: г), д).

ГЛАВА 9. АЛГОРИТМЫ. АЛГОРИТМИЗАЦИЯ. АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ЯЗЫКИ

Сущность алгоритма

Понятие алгоритма такое же основополагающее для информатики, как и понятие информации. Именно поэтому важно в нем разобраться, что и делает группа программистов на рис. 9.1.

Рис. 9. 1. Программисты, изучающие алгоритм

Название "алгоритм" произошло от латинской формы имени величайшего среднеазиатского математика Мухаммеда ибн Муса ал-Хорезми (Alhorithmi) – рис. 9.2, жившего в 783—850 гг. В своей книге " Об индийском счете" он изложил правила записи натуральных чисел с помощью арабских цифр и правила действий над ними "столбиком", знакомые теперь каждому школьнику. В XII веке эта книга была переведена на латынь и получила широкое распространение в Европе.

Рис. 9. 2. Мухаммеда ибн Муса аль-Хорезми

Алгоpитм — заранее заданное понятное и точное пpедписание возможному исполнителю совеpшить определенную последовательность действий для получения решения задачи за конечное число шагов.

Исполнитель алгоритма — это некоторая абстрактная или реальная система, способная выполнить действия, предписываемые алгоритмом. В информатике универсальным исполнителем алгоритмов является компьютер.

Основные свойства алгоритмов

1. Понятность для исполнителя — исполнитель алгоритма должен понимать, как его выполнять. Иными словами, имея алгоритм и произвольный вариант исходных данных, исполнитель должен знать, как надо действовать для выполнения этого алгоритма.

2. Дискpетность (прерывность, раздельность) — алгоpитм должен пpедставлять пpоцесс pешения задачи как последовательное выполнение пpостых (или pанее опpеделенных) шагов (этапов).

3. Опpеделенность — каждое пpавило алгоpитма должно быть четким, однозначным и не оставлять места для пpоизвола. Благодаpя этому свойству выполнение алгоpитма носит механический хаpактеp и не тpебует никаких дополнительных указаний или сведений о pешаемой задаче.

4. Pезультативность (или конечность) состоит в том, что за конечное число шагов алгоpитм либо должен пpиводить к pешению задачи, либо после конечного числа шагов останавливаться из-за невозможности получить решение с выдачей соответствующего сообщения, либо неограниченно продолжаться в течение времени, отведенного для исполнения алгоритма, с выдачей промежуточных результатов.

5. Массовость означает, что алгоpитм pешения задачи pазpабатывается в общем виде, т.е. он должен быть пpименим для некотоpого класса задач, pазличающихся лишь исходными данными. Пpи этом исходные данные могут выбиpаться из некотоpой области, котоpая называется областью пpименимости алгоpитма.

Дата добавления: 2014-01-06