Непрерывность функции в точке

Алгебраические действия над пределами

Теоремы о пределах функций

Теорема 1: Если функция в точке имеет конечный предел, то этот предел единственный.

Теорема 2: Если функция в точке имеет конечный предел, то она ограничена в окрестности этой точки.

Теорема 3(о стабилизации знака): Если функция в точке имеет конечный положительный предел, то она сохраняет знак в некоторой окрестности этой точки.

Теорема 4(о взаимосвязи функции и ее предела): Если, то.

Теорема5(о предельном переходе в неравенстве): Если, и при этом в некоторой окрестности точки выполняется неравенство, то.

Теорема 6(о сжатой переменной): Если и при этом в некоторой окрестности точки выполняется неравенство, то существует предел функции в точке, причем.

Теорема 7(о пределе сложной функции): Если,, то существует предел сложной функции в точке,.

Теорема 1: Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

Теорема 2: Произведение ограниченной функции на бесконечно малую есть бесконечно малая.

Теорема 3: Сумма, разность и произведение бесконечно малых функций есть бесконечно малая.

Замечание: Теоремы о частном двух бесконечно малых функций нет. Предел отношения бесконечно малых называется неопределенностью вида, например,. Для раскрытия неопределенностей используют различные приемы, о которых будет сказано далее.

Теорема 4(об алгебраических действиях над пределами): Если,, то существует в точке предел суммы, разности. Произведения и частного этих функций, причем справедливы равенства:

1.;

2.;

3..

Пусть функция определена на интервале, точка - внутрення точка этого интервала.

Определение 1: Функция называется непрерывной в точке, если она:

1) определена в этой точке;

2) имеет в этой точке конечный предел;

3) значение предела равно значению функции, т.е..

Если хотя бы одно условие из 1)-3) не выполнено, то говорят, что функция имеет в точке разрыв, а точка называется точкой разрыва.

Например, на рисунке 1 функция непрерывна в точке, на рисунках 2-4 имеет разрыв в этой точке. На рисунке 2 нарушено первое условие определения 1, т.е. функция не определена в точке. На рисунке 3 нарушено второе условие, то есть функция не имеет предела в точке (предел слева не равен пределу справа). На рисунке 4 нарушено третье условие определения 1, т.е. существует конечный предел в точке, равный 1, и функция определена, но.

Определение 2(по Коши, на языке): Функция называется непрерывной в точке, если для любого сколь угодно малого положительного числа можно указать положительное число такое, что для всех из области определения функции, для которых выполняется неравенство будет выполняться неравенство.

С помощью кванторов это определение записывается так:.

Определение 3 (по Гейне, на языке последовательностей): Функция называется непрерывной в точке, если для любой последовательности точек из области определения функции, сходящейся к, соответствующая последовательность значений функции сходится к.

Разность называется приращением аргумента в точке. Соответствующая ей разность называется приращением функции в точке. При приращение, при приращение функции. Поэтому можно сформулировать еще одно определение непрерывности функции в точке.

Определение 4 (на языке приращений): Функция называется непрерывной в точке, если малому приращению аргумента в этой точке соответствует малое приращение функции.

С помощью символа предела это определение можно записать так:.

Замечание: Для вычисления предела непрерывной в точке функции достаточно вычислить ее значение в этой точке, например,.

Дата добавления: 2014-01-06